Question

某個(gè)體戶計(jì)劃經(jīng)銷A、B兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，當(dāng)投資額為x（x≥0）萬(wàn)元時(shí)，在經(jīng)銷A、B商品中所獲得的收益分別為f（x）萬(wàn)元與g（x）萬(wàn)元、其中f（x）=a（x-1）+2（a＞0）；g（x）=6ln（x+b），（b＞0）已知投資額為零時(shí)，收益為零．
（1）試求出a、b的值；
（2）如果該個(gè)體戶準(zhǔn)備投入5萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種商品，請(qǐng)你幫他制定一個(gè)資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出其收入的最大值．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.10）．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=0，g（0）=0求出a，b；（2）分配資金構(gòu)造新的函數(shù)s（x）=2（5-x）+6ln（x+1）=6ln（x+1）-2x+10（0＜x≤5），再用導(dǎo)數(shù)法研究其單調(diào)性，從而得出最值．

解答：解：（1）根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，可知f（0）=0，g（0）=0
即：

-a+2=0 6lnb=0

，

a=2 b=1

（2）由（1）的結(jié)果可得：f（x）=2x，g（x）=6ln（x+1）依題意，可設(shè)投入B商品的資金為x萬(wàn)元（0＜x≤5），則投入A商品的資金為5-x萬(wàn)元，若所獲得的收入為s（x）萬(wàn)元，則有s（x）=2（5-x）+6ln（x+1）=6ln（x+1）-2x+10（0＜x≤5）∵s（x）=

6

x+1

-2，令s′(x)=0，得x=2
當(dāng)x＜2時(shí)，s′（x）＞0；當(dāng)x＞2時(shí)，s′（x）＜0；
∴x=2是s（x）在區(qū)間[0，5]上的唯一極大值點(diǎn)，此時(shí)s（x）取得最大值：
S（x）=s（2）=6ln3+6≈12.6（萬(wàn)元），此5-x=3（萬(wàn)元）
答該個(gè)體戶可對(duì)A商品投入3萬(wàn)元，對(duì)B商品投入2萬(wàn)元，這樣可以獲得12.6萬(wàn)元的最大收益．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．