Question

已知：f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列．
（1）當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，f_n（-1）=n，且a₁=1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）試比較fn(

1

2

)與3的大小．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件，寫(xiě)出f（1），f（-1）的表達(dá)式，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，列方程求出a₁、d，進(jìn)而寫(xiě)出a_n．
（2）利用錯(cuò)位相減法先求出f_n（

1

2

），再利用不等式的有關(guān)性質(zhì)，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性和極限的思想，即可得出fn(

1

2

)比3小．

解答：解：（1）若n為偶數(shù)，則-a₁+a₂-a₃+…-a_n-1+a_n=n
設(shè){a_n}的公差為d，則

1

2

dn=n，所以，d=2．
又∵a₁=1，
∴a_n=2n-1．（6分）
（2）fn(

1

2

)=1(

1

2

)+3(

1

2

)2+…+(2n-1)(

1

2

)n

1

2

fn(

1

2

)=1(

1

2

)2+3(

1

2

)3+…+(2n-3)(

1

2

)n+(2n-1)(

1

2

)n+1
兩式相減得：

1

2

fn(

1

2

)=(

1

2

)+2(

1

2

)2+2(

1

2

)3+…+2(

1

2

)n-(2n-1)(

1

2

)n+1
所以，fn(

1

2

)=3-(2n-1)(

1

2

)n-(

1

2

)n-2
所以，fn(

1

2

)＜3．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的遞推公式、數(shù)列求和以及數(shù)列與表達(dá)式的綜合應(yīng)用問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題以及推理論證的能力，是一道難題．