已知函數(shù)
(Ⅰ)若上的最大值為,求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)若對(duì)任意,都有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下,設(shè),對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù),曲線 上是否存在兩點(diǎn),使得是以為坐標(biāo)原點(diǎn))為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(Ⅰ).(Ⅱ)
(Ⅲ)對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù),曲線 上總存在兩點(diǎn),,使得是以為坐標(biāo)原點(diǎn))為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上.

試題分析:(Ⅰ)由,得,
,得
當(dāng)變化時(shí),的變化如下表:








 
-

+

-



極小值

極大值

,,,
即最大值為,.                          4分
(Ⅱ)由,得
,且等號(hào)不能同時(shí)取,,即 
恒成立,即.                     6分
,求導(dǎo)得,,
當(dāng)時(shí),,從而,
上為增函數(shù),,.          8分
(Ⅲ)由條件,,
假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn),滿足題意,則, 只能在軸兩側(cè),
不妨設(shè),則,且
是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形,
    ,
是否存在,等價(jià)于方程時(shí)是否有解.            10分
①若時(shí),方程,化簡(jiǎn)得,此方程無(wú)解;
②若時(shí),方程,即
設(shè),則,
顯然,當(dāng)時(shí),,
上為增函數(shù),
的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824013517264663.png" style="vertical-align:middle;" />,即當(dāng)時(shí),方程總有解.
對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù),曲線 上總存在兩點(diǎn),使得是以為坐標(biāo)原點(diǎn))為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上.    14分
點(diǎn)評(píng):難題,在給定區(qū)間,導(dǎo)數(shù)非負(fù),函數(shù)為增函數(shù),導(dǎo)數(shù)非正,函數(shù)為減函數(shù)。涉及“不等式恒成立”問(wèn)題,往往通過(guò)構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題,利用導(dǎo)數(shù)加以解決。本題(III)需要分類討論,易于出錯(cuò),是叫男的一道題目。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

設(shè)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),且則下列結(jié)論正確的是(  )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知有兩個(gè)極值點(diǎn)、,且在區(qū)間(0,1)上有極大值,無(wú)極小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(    ) 
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

函數(shù)內(nèi)有極小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍          

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知函數(shù)處有極值,則函數(shù)的圖象可能是(   )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(本題滿分12分) 設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)判斷能否為函數(shù)的極值點(diǎn),并說(shuō)明理由;
(Ⅱ)若存在,使得定義在上的函數(shù)處取得最大值,求實(shí)數(shù)的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知既有極大值又有極小值,則的取值范圍為(    )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知非零向量滿足:,若函數(shù)上有極值,設(shè)向量的夾角為,則的取值范圍為(   )
A.[B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

函數(shù)與函數(shù)恒有兩不同的交點(diǎn),則的取值范圍是            .

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案