【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的圖象在點處的切線方程;

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(3)若,且方程有兩個不相等的實數(shù)根,求證: .

【答案】(1) (2) 得單增區(qū)間為, 無減區(qū)間

(3)見解析.

【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),它是切線的斜率,而切點為,因此切線方程為: .(2)函數(shù)的定義域為,,構(gòu)建新函數(shù),可以證明在上, ,因此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為: , ,無減區(qū)間.(3)化簡得到,其導(dǎo)數(shù)為,通過導(dǎo)數(shù)的符號討論可以得到: 上單減函數(shù),在上單增函數(shù),構(gòu)造新函數(shù),可以證明當(dāng),總有,從而有,最后根據(jù)的單調(diào)性得也就是.

解析:(1)因為,所以切點為.因為,所以切線的斜率為,所以,所求的切線方程為.

(2)的定義域為,由(1) 知,則,

當(dāng)時, 上是減函數(shù);當(dāng)時, , 上是增函數(shù).

所以上的最小值為,所以恒成立,所以的單增區(qū)間為, ,無減區(qū)間.

(3) ,

當(dāng), 上單減函數(shù);

當(dāng)時, , 上單增函數(shù).

又當(dāng)時, ,當(dāng)時, ,所以可設(shè)

構(gòu)造函數(shù),則

當(dāng)時, ,則, 上單調(diào)遞減,又,

所以,由,得,

所以,又, 上單調(diào)遞増,所以,即,故.

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B. 上各點橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線

C. 把曲線向右平移個單位長度,再把得到的曲線上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變,得到曲線

D. 把曲線向右平移個單位長度,再把得到的曲線上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變,得到曲線

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