(2010•武漢模擬)若x2+y2=1,則
xy
x+y-1
的最大值為
1
2
(
2
+1)
1
2
(
2
+1)
分析:法1:令f=x+y,則f2=(x+y)2≤2(x2+y2)=2,所以f≤
2
.由xy=
(x+y)2-(x2+y2
2
=
f2-1
2
,知
xy
x+y-1
=
f+1
2
2
+1
2
.由此能求出
xy
x+y-1
的最大值.
法2:令x=cosa,y=sina,則 xy=cosa•sina=[(cos(
a
2
))2-(sin(
a
2
))2]•2sin(
a
2
)cos(
a
2
)=sin(
a
2
)•[cos(
a
2
)-sin(
a
2
)]•(1+cosa+sina),而x+y-1=sina+cosa-1=2sin(
a
2
)cos(
a
2
)-2(sin(
a
2
))2=2sin(
a
2
)•[cos(
a
2
)-sin(
a
2
)],由此能求出
xy
x+y-1
的最大值.
解答:解法1:令f=x+y,
則f2=(x+y)2≤2(x2+y2)=2,
所以f≤
2

另一方面xy=
(x+y)2-(x2+y2
2
=
f2-1
2
,
所以
xy
x+y-1
=
f+1
2
2
+1
2

當(dāng)x=y=
2
2
時(shí),
xy
x+y-1
取到最大值
1
2
(
2
+1)

解法2:令x=cosa,y=sina,
則 xy=cosa•sina=[(cos(
a
2
))2-(sin(
a
2
))2]•2sin(
a
2
)cos(
a
2

=2sin(
a
2
)•[cos(
a
2
)-sin(
a
2
)]•[cos(
a
2
)+sin(
a
2
)]•cos(
a
2

=sin(
a
2
)•[cos(
a
2
)-sin(
a
2
)]•(1+cosa+sina),
而x+y-1=sina+cosa-1
=2sin(
a
2
)cos(
a
2
)-2(sin(
a
2
))2
=2sin(
a
2
)•[cos(
a
2
)-sin(
a
2
)],
所以
xy
x+y-1
=
1
2
(1+cosa+sina)
=
1
2
(1+
2
sin(a+
π
4
))
1
2
(1+
2
),
所以當(dāng)x=y=
2
2
時(shí),
xy
x+y-1
的最大值為
1
2
(
2
+1)
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)值域的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題.,仔細(xì)挖掘題設(shè)中的隱含條件,在解法1國(guó)要注意均值不等式的合理運(yùn)用,在解法2中要注意三角函數(shù)的靈活運(yùn)用.
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(-1,-3)
(-1,-3)

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1+an
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(n∈N*),且a1=0

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1
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3
5
,-
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2
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=( 。

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(-1,0)
(-1,0)

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