Question

過拋物線y²=4x上一點(diǎn)A（1，2）作拋物線的切線，分別交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)C（異于點(diǎn)A）在拋物線上，點(diǎn)E在線段AC上，滿足=λ₁；點(diǎn)F在線段BC上，滿足=λ₂，且
λ₁+λ₂=1，線段CD與EF交于點(diǎn)P．
（1）設(shè)，求λ；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)A的切線方程為y=x+1．
切線交x軸于點(diǎn)B（﹣1，0），交y軸交于點(diǎn)D（0，1），則D是AB的中點(diǎn)．
所以．                           （1）
由=（1+λ）． （2）
同理由 =λ₁，得=（1+λ₁），（3）
=λ₂，得=（1+λ₂）．     （4）
將（2）、（3）、（4）式代入（1）得．
因?yàn)镋、P、F三點(diǎn)共線，所以 +=1，
再由λ₁+λ₂=1，解之得λ=．
（2）由（1）得CP=2PD，D是AB的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)P為△ABC的重心．
所以，x=，y=．
解得x₀=3x，y₀=3y﹣2，代入y₀²=4x₀得，（3y﹣2）²=12x．
由于x_0^≠1，故x≠3．
所求軌跡方程為（3y﹣2）²=12x （x≠3）．