Question

設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f（x）定義在（0，+∞）上，f（1）=0，導(dǎo)函數(shù)f′(x)=

1

x

，g（x）=f（x）+f'（x）．
（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；
（2）討論g（x）與g(

1

x

)的大小關(guān)系；
（3）是否存在x₀＞0，使得|g(x)-g(x0)|＜

1

x

對(duì)任意x＞0成立？若存在，求出x₀的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意求出f（x）的解析式，代入g（x）=f（x）+f′（x）．求出g（x），求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)取得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的最小值；
（2）構(gòu)造函數(shù)φ（x），利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最小值，從而求得g（x）與g(

1

x

)的大小大小關(guān)系；
（3）假設(shè)存在x₀＞0，使得|g(x)-g(x0)|＜

1

x

對(duì)任意x＞0成立，轉(zhuǎn)化為封閉型命題，利用研究函數(shù)的最值可得結(jié)論．

解答：解：（1）由f（1）=0，導(dǎo)函數(shù)f′(x)=

1

x

可知f（x）=lnx，x＞0，
∵g（x）=f（x）+f'（x），∴g(x)=lnx+

1

x

，x＞0．
求導(dǎo)函數(shù)可得g′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g'（x）＜0；x∈（1，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1），極小值為g（1）=1
∵函數(shù)在定義域上僅有一個(gè)極小值，∴也為最小值，最小值為g（1）=1．
（2）設(shè)φ(x)=g(x)-g(

1

x

)=2lnx+

1

x

-x，x＞0，則φ′(x)=-(

x-1

x

)2≤0，故函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，
∵φ（1）=0，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，φ（x）＞0，即g（x）＞g(

1

x

)；x∈（1，+∞）時(shí)，φ（x）＜0，即g（x）＜g(

1

x

)；x=1時(shí)，g（x）=g(

1

x

)．
（3）假設(shè)存在滿足題設(shè)的x₀，則|g(x)-g(x0)|＜

1

x

?-

1

x

＜g(x0)-(lnx+

1

x

)＜

1

x

?lnx＜g(x0)＜lnx+

2

x

，對(duì)任意x＞0成立，
從而有

(lnx)max＜g(x0) g(x0)＜(lnx+ 2 x )min

∵lnx→+∞，(lnx+

2

x

)min=1
∴無(wú)解，故不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，考查分類討論的思想方法．其中問(wèn)題（3）是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．