已知定義域為（0，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：（1）對任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立；（2）當x∈（1，3]時，f（x）=3-x．給出如下結論：
①對任意m∈Z，有f（3m）=0；
②函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（3n+1）=9．
其中所有正確結論的序號是    ．
【答案】分析：依據題中條件注意研究每個選項的正確性，連續(xù)利用題中第（1）個條件得到①正確；連續(xù)利用題中第①②個條件得到②正確，③錯誤．
解答：解：①∵對任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，當x∈（1，3]時，f（x）=3-x．
∴f（3m）=f（3•3m-1）=3f（3m-1）=…=3m-1f（3）=0，正確；
②取x∈（3m，3m+1]，，
從而f（x）∈[0，+∞），正確；
③∵x∈（1，3]時，f（x）=3-x，對任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，n∈Z，
∴f（3n+1）=3nf（1+）=3n（3-（1+））=3n（2-）≠9，故③錯誤；
故答案為：①②．
點評：本題通過抽象函數(shù)，考查了函數(shù)的周期性，單調性，以及學生的綜合分析能力，難度大，易錯點在于②x∈（3m，3m+1]，的轉化，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義域為（0，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：
（1）對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；
（2）當x∈（1，2]時f（x）=2-x給出結論如下：
①任意m∈Z，有f（2m）=0；
②函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
④“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k-1）．
其中所有正確結論的序號是
 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義域為（0，+∞）的單調函數(shù)f（x）滿足：f（m）+f（n）=f（m•n）對任意m，n∈（0，+∞）均成立．
（Ⅰ）求f（1）的值；若f（a）=1，求f(
1a
)的值；
（Ⅱ）若關于x的方程2f（x+1）=f（kx）有且僅有一個根，求實數(shù)k的取值集合．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義域為（0，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：（1）對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當x∈（1，2]時，f（x）=2-x．給出如下結論：
①對任意m∈Z，有f（2m）=0；
②存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
③函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞）；
④“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”．
其中所有正確結論的序號是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義域為（0，+∞）函數(shù)f（x）的解析式滿足（x-1）f（x-1）=x2-2x+2．函數(shù)g（x）=
f(x)，x＞0
f(-x)，x＜0
，則函數(shù)g（x）在區(qū)間[-2，-
1
2
]上的值域是
[2，
5
2
]
[2，
5
2
]
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義域為（0，+∞）的單調函數(shù)f（x），若對任意x∈（0，+∞），都有f(f(x)+log
1
2
x)=3，則方程f(x)=2+
x
的解的個數(shù)是
0
0
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案