Question

已知橢圓，橢圓C₂以C₁的長軸為短軸，且與C₁有相同的離心率。
（1）求橢圓C₂的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓C₁和C₂上，，求直線AB的方程。

Answer 1

解：（1）橢圓的長軸長為4，離心率為
∵橢圓C₂以C₁的長軸為短軸，且與C₁有相同的離心率
∴橢圓C₂的焦點(diǎn)在y軸上，2b=4，為
∴b=2，a=4
∴橢圓C₂的方程為；
（2）設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x_A，y_A），（x_B，y_B），
∵
∴O，A，B三點(diǎn)共線，且點(diǎn)A，B不在y軸上
∴設(shè)AB的方程為y=kx
將y=kx代入，消元可得（1+4k²）x²=4，
∴
將y=kx代入，消元可得（4+k²）x²=16，
∴
∵，
∴=4，
∴，解得k=±1，
∴AB的方程為y=±x。