Question

1．已知集合C={（x，y）|f（x，y）=0}，若對(duì)于任意（x₁，y₁）∈C，存在（x₂，y₂）∈C，使x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱(chēng)集合C是“好集合”．給出下列4個(gè)集合：C₁={（x，y）|x²+y²=9}，C₂={（x，y）|x²-y²=9}，C₃={（x，y）|2x²+y²=9}，C₄={（x，y）|x²+y=9}，其中為“好集合”的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由“好集合”的定義可知，具備“好集合”的條件是對(duì)于任意P₁（x₁，y₁）∈C，存在P₂（x₂，y₂）∈C，使x₁x₂+y₁y₂=0成立，即OP₁⊥OP₂．然后逐個(gè)驗(yàn)證即可得到答案．

解答 解：對(duì)于任意（x₁，y₁）∈C，存在（x₂，y₂）∈C，使x₁x₂+y₁y₂=0成立，即OP₁⊥OP₂．
對(duì)于C₁={（x，y）|x²+y²=9}，
∵圓x²+y²=9的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，
∴對(duì)于任意P₁（x₁，y₁）∈C，存在P₂（x₂，y₂）∈C，使OP₁⊥OP₂．故集合C₁為“好集合”；
對(duì)于C₂={（x，y）|x²-y²=9}，當(dāng)P₁（x₁，y₁）為雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線(xiàn)上不存在點(diǎn)P₂（x₂，y₂）
∈C₂，使OP₁⊥OP₂．故集合C₂不是“好集合”；
對(duì)于C₃={（x，y）|2x²+y²=9}，
∵橢圓2x²+y²=9的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，
∴對(duì)于任意P₁（x₁，y₁）∈C，存在P₂（x₂，y₂）∈C，使OP₁⊥OP₂．故集合C₃為“好集合”；
對(duì)于C₄={（x，y）|x²+y=9}，
由x²+y=9，得y=-x²+9，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)P₁（x₁，y₁）為x軸與拋物線(xiàn)交點(diǎn)時(shí)，可取P₂（x₂，y₂）為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，當(dāng)P₁（x₁，y₁）不是x軸與拋物線(xiàn)交點(diǎn)時(shí)，OP₁的垂線(xiàn)一定與拋物線(xiàn)相交，故集合C₄為“好集合”．
∴“好集合”的個(gè)數(shù)是3個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，考查了元素與集合的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，是中檔題．