求證：{an}是公差不為零的等差數(shù)列的充要條件是an＝f(n)是n的一次函數(shù)．

答案：
解析：

　　證明：(1)充分性：an＝f(n)是n的一次函數(shù){an}是等差數(shù)列且公差不為零．

　　∵an＝f(n)是n的一次函數(shù)，

　　∴可設(shè)an＝a·n＋b(a≠0)，于是a＝a(n－1)＋b．

　　∴an－a＝a(≠0)是常數(shù)．∴{an}是公差不為零的等差數(shù)列．

　　(2)必要性：{an}是公差不為零的等差數(shù)列an＝f(n)是n的一次函數(shù)．

　　∵{an}是公差不為零的等差數(shù)列，

　　∴an－a＝a(≠0)(n≥2)．

　　∴a2－a1＝a，a3－a2＝a，…，an－a＝a，

　　相加得an－a1＝a·(n－1)．

　　∴an＝a·n＋(a1－a)(a≠0)．∴an是n的一次函數(shù)．


提示：

在分清條件和結(jié)論的基礎(chǔ)上，搞清充分性命題和必要性命題．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的公式是Sn=
π12
(2n2+n)．
（1）求證：{an}是等差數(shù)列，并求出它的首項(xiàng)和公差；
（2）記bn=sinan•sinan+1•sinan+2，求出數(shù)列{an•bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1=2，且．a(chǎn)2是a1、a4的等比中項(xiàng)，n∈N*．
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（Ⅱ）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn記數(shù)列{
1Sn
}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：Tn＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=1，且a2，a5，a14成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=
1
anan+1
，求證：數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＜
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，a3+a5=2，S20=150，又bn=2an-2an+1(n∈N*)
（1）求a1，d；
（2）求證{bn}是等比數(shù)列，并求bn的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)k為某自然數(shù)，且滿(mǎn)足
lim
n→∞
(bkbk+1+bk+1bk+2+…+bnbn+1)=
1
96
，求k的值．

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