Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，過其上一點(diǎn)P(x₀，y₀)(x₀≠0)的切線方程為y-y₀=2ax₀(x-x₀)(a為常數(shù))

(I)求拋物線方程；

(Ⅱ)斜率為k₁的直線PA與拋物線的另一交點(diǎn)為A，斜率為k₂的直線PB與拋物線的另一交點(diǎn)為B(A、B兩點(diǎn)不同)，且滿足k₂+k₁=0(≠0，≠-1)，若，求證線段PM的中點(diǎn)在y軸上；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，當(dāng)=1，k₁<0時(shí)，若P的坐標(biāo)為(1，-1)，求為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可設(shè)拋物線的方程為

        X²=-2py(p>0)

       ∵過點(diǎn)p(x₀，y₀)(x₀≠0) 的切線方程為y-y₀=2ax₀(x-x₀)

       ∴y′=

      ∴

      ∴ 拋物線的方程為 y=ax²(a<0)

（Ⅱ）直線PA的方程為 y-y₀=k₁(x-x₀)²

          ∴

     ∴ ax²-k₁x+ k₁x₀-y₀=0  ∴

     同理可得   

     ∵ k₂+k₁=0

     ∴ k₂=-k₁    

           又

    ∴     

    ∴線段PM的中點(diǎn)在y軸上

 （Ⅲ）由

     ∴ A（-K₁-1，-（k₁+1）²）,B(k₁-1, -（k₁-1）²)

     ∴  

     ∵ ∠PAB為鈍角，且P、A、B互不相同

     ∴

      即

    ∴

∵k₁<0

∴

∴ k₁<-2或

又∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y_A=-(k₁+1)²

 ∴當(dāng)k₁<-2時(shí)，y_A<-1

當(dāng)時(shí)，

∴∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍為（-∞，-1）∪（-1，）