Question

7．過雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1右焦點F作一直線（不平行于坐標軸）交雙曲線于A、B兩點，若點M滿足條件$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{0}$，O為坐標原點，則k_AB•k_OM的值為（　�。�

• A． $\frac{5}{4}$
• B． -$\frac{5}{4}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． -$\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 求得雙曲線的a，b，c，可得焦點F的坐標，設過F的直線為y=k（x-3），代入雙曲線的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，可得M的坐標，再由直線的斜率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的a=2，b=$\sqrt{5}$，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=3，即有F（3，0），
設過F的直線為y=k（x-3），
代入雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，可得
5x²-4k²（x-3）²=20，
即為（5-4k²）x²+24k²x-36k²-20=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=-$\frac{24{k}^{2}}{5-4{k}^{2}}$，
點M滿足條件$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{0}$，可得M為AB的中點，
由中點坐標公式可得M（-$\frac{12{k}^{2}}{5-4{k}^{2}}$，-$\frac{15k}{5-4{k}^{2}}$），
則k_AB•k_OM=k•$\frac{-15k}{-12{k}^{2}}$=k•$\frac{5}{4k}$=$\frac{5}{4}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，注意聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，考查直線的斜率公式的運用，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．