Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)；f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，0＜f(x)＜1；當(dāng)x∈(0，π)且x≠時(shí)，f′(x)＞0.則函數(shù)y＝f(x)－sin x在[－2π，2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．

Answer 1

4

∵f′(x)＞0，x∈(0，π)且x≠.
∴當(dāng)0＜x＜時(shí)，f′(x)＜0，f(x)在上遞減．
當(dāng)＜x＜π時(shí)，f′(x)＞0，f(x)在上遞增．
∵x∈[0，π]時(shí)，0＜f(x)＜1.∴當(dāng)x∈[π，2π]，則0≤2π－x≤π.
又f(x)是以2π為最小正周期的偶函數(shù)，
知f(2π－x)＝f(x)．∴x∈[π，2π]時(shí)，仍有0＜f(x)＜1.
依題意及y＝f(x)與y＝sin x的性質(zhì)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作y＝f(x)與y＝sin x的簡(jiǎn)圖．

則y＝f(x)與y＝sin x，x∈[－2π，2π]有4個(gè)交點(diǎn)．
故函數(shù)y＝f(x)－sin x在[－2π，2π]上有4個(gè)零點(diǎn)．