Question

一次研究性課堂上，老師給出函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)，三位同學在研究此函數(shù)時給出以下命題：
①函數(shù)f（x）的值域為[-1，1]；     
②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
③對任意的x₁，x₂∈R，存在x₀，使得f（x₁）+f（x₂）=2f（x₀）成立；
④若規(guī)定f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))， 則 fn(x)=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立．
你認為上述命題中正確的是

②③

．（請將正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析：利用奇函數(shù)的定義判斷出f（x）為奇函數(shù)，通過對x的分段討論去掉絕對值轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，討論x≥0的值域、單調(diào)性判斷，由此可得結(jié)論．

解答：解：①∵f（-x）=-f（x），∴f（x）為奇函數(shù)
∵f(x)=

x

1+|x|

= 

x 1+x (x≥0) x 1-x (x＜0)

當x≥0時，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈[0，1)
∵f（x）為奇函數(shù)，∴當x＜0是，f（x）∈（-1，0）
∴函數(shù)f（x）的值域為f（x）∈（-1，1），故①不正確；
②當x≥0時，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

∈[0，1)為增函數(shù)，
∵f（x）為奇函數(shù)，∴當x＜0是，f（x）∈（-1，0）為增函數(shù)，∴f（x在（-1，1）上為增函數(shù)
故②正確；
③對任意的x₁，x₂∈R，當x₁=x₂時，存在x₀=x₁，使得f（x₁）+f（x₂）=2f（x₀）成立；
當x₁≠x₂時，不妨設(shè)x₁＜x₂，
∵f（x在（-1，1）上為增函數(shù)，f（x₁）+f（x₂）＜2f（x₂），∴f（x₀）＜f（x₂），
∵f（x在（-1，1）上為增函數(shù)，∴x₀＜x₂，∴存在x₀，使得f（x₁）+f（x₂）=2f（x₀）成立，故③正確；
④f_n（x）=f（f₁（x））=f（f（x）=

x 1+|x|

1+| x 1+|x| |

=

x

1+2|x|

=

x

1+nx

不恒成立，故④不正確；
綜上知，命題中正確的是：②③
故答案為：②③

點評：本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，要注意結(jié)合函數(shù)值域求法及單調(diào)性判斷方法加以判斷，綜合性強．