Question

14．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，點$A（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)動直線l與橢圓C有且僅有一個公共點，判斷是否存在以原點O為圓心的圓，滿足此圓與l相交兩點P₁，P₂（兩點均不在坐標(biāo)軸上），且使得直線OP₁，OP₂的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用離心率列出方程，通過點在橢圓上列出方程，求出a，b然后求出橢圓的方程．
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時，驗證直線OP₁，OP₂的斜率之積．
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=kx+m與橢圓聯(lián)立，利用直線l與橢圓C有且只有一個公共點，推出m²=4k²+1，通過直線與圓的方程的方程組，設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），結(jié)合韋達(dá)定理，求解直線的斜率乘積，推出k₁•k₂為定值即可．

解答 （本小題滿分14分）
（Ⅰ）解：由題意，得$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，a²=b²+c²，…（2分）
又因為點$A（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在橢圓C上，
所以$\frac{1}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$，…（3分）
解得a=2，b=1，$c=\sqrt{3}$，
所以橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（5分）
（Ⅱ）結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為x²+y²=5．…（6分）
證明如下：
假設(shè)存在符合條件的圓，并設(shè)此圓的方程為x²+y²=r²（r＞0）．
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=kx+m．…（7分）
由方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，…（8分）
因為直線l與橢圓C有且僅有一個公共點，
所以${△_1}={（8km）^2}-4（4{k^2}+1）（4{m^2}-4）=0$，即m²=4k²+1．…（9分）
由方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+{y^2}={r^2}\end{array}\right.$得（k²+1）x²+2kmx+m²-r²=0，…（10分）
則${△_2}={（2km）^2}-4（{k^2}+1）（{m^2}-{r^2}）＞0$．
設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=\frac{-2km}{{{k^2}+1}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{{m^2}-{r^2}}}{{{k^2}+1}}$，…（11分）
設(shè)直線OP₁，OP₂的斜率分別為k₁，k₂，
所以${k_1}{k_2}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}}}{{{x_1}{x_2}}}$
=$\frac{{{k^2}•\frac{{{m^2}-{r^2}}}{{{k^2}+1}}+km•\frac{-2km}{{{k^2}+1}}+{m^2}}}{{\frac{{{m^2}-{r^2}}}{{{k^2}+1}}}}=\frac{{{m^2}-{r^2}{k^2}}}{{{m^2}-{r^2}}}$，…（12分）
將m²=4k²+1代入上式，得${k_1}•{k_2}=\frac{{（4-{r^2}）{k^2}+1}}{{4{k^2}+（1-{r^2}）}}$．
要使得k₁k₂為定值，則$\frac{{4-{r^2}}}{4}=\frac{1}{{1-{r^2}}}$，即r²=5，驗證符合題意．
所以當(dāng)圓的方程為x²+y²=5時，圓與l的交點P₁，P₂滿足k₁k₂為定值$-\frac{1}{4}$．…（13分）
當(dāng)直線l的斜率不存在時，由題意知l的方程為x=±2，
此時，圓x²+y²=5與l的交點P₁，P₂也滿足${k_1}{k_2}=-\frac{1}{4}$．
綜上，當(dāng)圓的方程為x²+y²=5時，圓與l的交點P₁，P₂滿足斜率之積k₁k₂為定值$-\frac{1}{4}$．…（14分）

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．