Question

在平面直角坐標系xoy中，已知拋物線y²=2px橫坐標為4的點到該拋物線的焦點的距離為5．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）設(shè)點C是拋物線上的動點，若以C為圓心的圓在y軸上截得的弦長為4，求證：圓C過定點．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的定義及橫坐標為4的點到該拋物線的焦點的距離為5．可求得p，則拋物線方程可得．
（2）設(shè)圓心C的坐標為(

y 2 0

4

，y0)，半徑為r，根據(jù)圓心C在y軸上截得的弦長為4表示出r和y₀的關(guān)系，代入圓的方程，根據(jù)對于任意的y₀∈R，方程均成立進而得到關(guān)于x和y的方程組，求得x和y，進而推斷圓C過定點．

解答：解：（1）依題意，得：

p

2

+4=5，∴p=2．
拋物線標準方程為：y²=4x
（2）設(shè)圓心C的坐標為(

y 2 0

4

，y0)，半徑為r．
∵圓心C在y軸上截得的弦長為4∴r2=4+(

y 2 0

4

)2
圓心C的方程為：(x-

y 2 0

4

)2+(y-y0)2=4+(

y 2 0

4

)2
從而變?yōu)椋?span id="c4ky2s4" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">(1-

x

2

)

y

2 0

-2yy0+(x2+y2-4)=0①
對于任意的y₀∈R，方程①均成立．
故有：

1- x 2 =0 -2y=0 x2+y2=4

解得：

x=2 y=0

所以，圓C過定點（2，0）．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是歷年高考命題的熱點；試題具有一定的綜合性，覆蓋面大，不僅考查“三基”掌握的情況，而且重點考查學生的作圖、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運算，以及運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力．