Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），g（x）=e^x-1．
（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+x²，a＞0，討論F（x）的單調(diào)性：
（Ⅱ）對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），若都有f（x₂）-f（x₁）≤a（x₂-x₁）成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）對任意的x₂＞x₁＞0，試比較f（x₂）-f（x₁）與g（x₂-x₁）的大小并說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+x²，x∈（-1，+∞），a＞0
∴F′（x）=-（a+1）+ax=
當(dāng)0＜a＜時，F(xiàn)（x）在（-1，1）和（-1，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，）上單調(diào)遞減
當(dāng)a=時，F(xiàn)（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增
當(dāng)a時，F(xiàn)（x）在（-1，）和（1，+∞）上單增，在（，1）上單減，
當(dāng)a=時，F(xiàn)（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增
（II）不妨設(shè)x₂＞x₁≥0，由題意得f（x₂）-f（x₁）≤ax₂-ax₁，
f（x₂）-ax₂≤f（x₁）-ax₁
∴令t（x）=f（x）-ax
∴?x₂＞x₁≥0，總有t（x₂）≤t（x₁）
∴t（x）在[0，+∞）上單減，
∴在[0，+∞）上恒成立，
即a，
∴a≥1
（III）由（II）得，令a=1．得f（x₂）-f（x₁）≤x₂-x₁，
設(shè)h（x）=g（x）-x=e^x-x-1（x＞0）
h^′（x）=e^x-1＞0
∴h（x）在[0，+∞）上單增，
∴h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞x
又∵x₂-x₁＞0，
∴g（x₂-x₁）＞x₂-x₁，
∴f（x₂）-f（x₁）≤x₂-x₁＜g（x₂-x₁）
∴f（x₂）-f（x₁）＜g（x₂-x₁）
分析：（I）根據(jù)條件中所給的函數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，要討論函數(shù)的單調(diào)性，先對函數(shù)求導(dǎo)，討論a的值，在a的不同取值下，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（II）設(shè)出自變量的大小關(guān)系，構(gòu)造新函數(shù)，要證明函數(shù)在區(qū)間上是一個遞減函數(shù)，得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在這個范圍上不大于0恒成立，根據(jù)恒成立中常用的函數(shù)的最值的思想，得到結(jié)果．
（III）根據(jù)所給的要證明的兩個代數(shù)式，構(gòu)造出新函數(shù)，對新函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，是一個單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性寫出要證的結(jié)論．
點評：本題是一個大型的函數(shù)綜合題目，題目包含的知識點比較多，適合作為高考題中的一道壓軸題目，注意題目中兩次使用構(gòu)造函數(shù)的思想，這是本題的閃光點．