Question

已知函數(shù)．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124640791309247/SYS201310251246407913092021_DA/0.png">，x＞0，x＞0，則，利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+）（其中a＞0）上存在極值，能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）不等式，即為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解答：解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124640791309247/SYS201310251246407913092021_DA/6.png">，x＞0，則，（1分）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0；
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（a，a+）（其中a＞0）上存在極值，
所以解得．
（2）不等式，即為，記，
所以=
令h（x）=x-lnx，
則，∵x≥1，∴h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，
從而g'（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上也單調(diào)遞增，所以[g（x）]_min=g（1）=2，
所以k≤2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查極值的應(yīng)用，應(yīng)用滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意構(gòu)造法和分類(lèi)討論法的合理運(yùn)用．