函數(shù)f（x）=x3+3ax2+3bx+2在x=2處取得極值，其圖象在x=1處的切線與直線x-3y+5=0垂直．
（1）求a，b的值；
（2）當(dāng)x∈(-∞，
3
]時，xf′（x）≤m-6x2+9x恒成立，求m的取值范圍．
分析：（1）由題意及兩個已知條件可以建立a，b的兩個方程．
（2）由題意知屬于函數(shù)在定義域上恒成立問題；一般先對解析式變形；一端分解出參數(shù)字母m，一端為函數(shù)式，要想恒成立等價轉(zhuǎn)化為字母恒小于或大于函數(shù)在定義域下的最值．
解答：解：（1）f'（x）=3（x2+2ax+b）
由題意得
4+4a+b=0
3(1+2a+b)=-3
，解得a=-1，b=0
（2）當(dāng)x∈(-∞，
3
]時，xf'（x）≤m-6x2+9x恒成立?當(dāng)x∈(-∞，
3
]時，3x3-9x≤m恒成立
令g（x）=3x3-9x，則g'（x）=9（x+1）（x-1）g（x）在(-∞，-1)，(1，
3
)是增函數(shù)，（-1，1）是減函數(shù)
而g(
3
)=0，g(-1)=6，所以當(dāng)x∈(-∞，
3
]時，g（x）max=6
故m≥6
點評：此題（1）考查了導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的幾何含義及利用了高中數(shù)學(xué)中常用的方程的思想求解a，b的值；
此題（2）考查了函數(shù)在定義域下恒成立時字母的取值范圍及解題中等價轉(zhuǎn)化的思想．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2+bx+c在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，函數(shù)f（x）在R上有三個零點．
（1）求b的值；
（2）若1是其中一個零點，求f（2）的取值范圍；
（3）若a=1，g（x）=f′（x）+3x2+lnx，試問過點（2，5）可作多少條直線與曲線y=g（x）相切？請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•東城區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，曲線y=f（x）在點x=1處的切線l不過第四象限且斜率為3，又坐標(biāo)原點到切線l的距離為
10
10
，若x=
2
3
時，y=f（x）有極值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•寧波模擬）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2-a2x+2，a∈R．
（1）若a＜0時，試求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若a=0，且曲線y=f（x）在點A、B（A、B不重合）處切線的交點位于直線x=2上，證明：A、B 兩點的橫坐標(biāo)之和小于4；
（3）如果對于一切x1、x2、x3∈[0，1]，總存在以f（x1）、f（x2）、f（x3）為三邊長的三角形，試求正實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x3-3ax+b（a≠0），已知曲線y=f（x）在點（2，f（x））處在直線y=8相切．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值點．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x）=x3+ax2-x+1的極值情況，4位同學(xué)有下列說法：甲：該函數(shù)必有2個極值；乙：該函數(shù)的極大值必大于1；丙：該函數(shù)的極小值必小于1；丁：方程f（x）=0一定有三個不等的實數(shù)根． 這四種說法中，正確的個數(shù)是（　　）

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案