Question

已知橢圓經過點M（-2，-1），離心率為．過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q．
（I）求橢圓C的方程；
（II）∠PMQ能否為直角？證明你的結論；
（III）證明：直線PQ的斜率為定值，并求這個定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據橢圓經過點M（-2，-1），離心率為，建立方程可求a，b的值，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線的傾斜角為α，β，則α+β=180°，α=β+∠PMQ，若∠PMQ=90°，則β=45°，α=135°，求出直線的方程與橢圓方程聯立，驗證即可得到結論；
（III）記P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），直線MP的方程與橢圓C的方程聯立，求出x₁，x₂的值，利用斜率公式即可求得結論．
解答：（Ⅰ）解：由題設，得，①且=，②
由①、②解得a=6，b=3，
∴橢圓C的方程為．…（4分）
（Ⅱ）解：設直線的傾斜角為α，β，則α+β=180°，α=β+∠PMQ
若∠PMQ=90°，則β=45°，α=135°
∴直線的斜率分別為1，-1
∴方程分別為y=x+1，y=-x-3
代入橢圓方程可得：3x²+4x-4=0，x²+4x+4=0
故可知y=-x-3與橢圓有且只有一個交點
所以∠PMQ不能直角；
（III）證明：記P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）．
設直線MP的方程為y+1=k（x+2），與橢圓C的方程聯立，得（1+2k²）x²+（8k²-4k）x+8k²-8k-4=0，
則-2，x₁是該方程的兩根，∴-2x₁=，∴x₁=．
設直線MQ的方程為y+1=-k（x+2），同理得x₂=．…（8分）
因y₁+1=k（x₁+2），y₂+1=-k（x₂+2），
故k_PQ=====1，
因此直線PQ的斜率為定值．…（12分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查直線斜率的計算，確定橢圓方程，聯立方程是關鍵．