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已知橢圓經過點M(-2,-1),離心率為.過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q.
(I)求橢圓C的方程;
(II)∠PMQ能否為直角?證明你的結論;
(III)證明:直線PQ的斜率為定值,并求這個定值.
【答案】分析:(Ⅰ)根據橢圓經過點M(-2,-1),離心率為,建立方程可求a,b的值,從而可得橢圓的方程;
(Ⅱ)設直線的傾斜角為α,β,則α+β=180°,α=β+∠PMQ,若∠PMQ=90°,則β=45°,α=135°,求出直線的方程與橢圓方程聯立,驗證即可得到結論;
(III)記P(x1,y1)、Q(x2,y2),直線MP的方程與橢圓C的方程聯立,求出x1,x2的值,利用斜率公式即可求得結論.
解答:(Ⅰ)解:由題設,得,①且=,②
由①、②解得a=6,b=3,
∴橢圓C的方程為.…(4分)
(Ⅱ)解:設直線的傾斜角為α,β,則α+β=180°,α=β+∠PMQ
若∠PMQ=90°,則β=45°,α=135°
∴直線的斜率分別為1,-1
∴方程分別為y=x+1,y=-x-3
代入橢圓方程可得:3x2+4x-4=0,x2+4x+4=0
故可知y=-x-3與橢圓有且只有一個交點
所以∠PMQ不能直角;
(III)證明:記P(x1,y1)、Q(x2,y2).
設直線MP的方程為y+1=k(x+2),與橢圓C的方程聯立,得(1+2k2)x2+(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0,
則-2,x1是該方程的兩根,∴-2x1=,∴x1=
設直線MQ的方程為y+1=-k(x+2),同理得x2=.…(8分)
因y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2),
故kPQ=====1,
因此直線PQ的斜率為定值.…(12分)
點評:本題考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關系,考查直線斜率的計算,確定橢圓方程,聯立方程是關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源:2011-2012學年河北省唐山市高三上學期摸底考試理科數學試卷 題型:解答題

(本小題滿分12分)

已知橢圓經過點M(-2,-1),離心率為。過點M作傾斜角

 

互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q。

(I)求橢圓C的方程;

(II)能否為直角?證明你的結論;

(III)證明:直線PQ的斜率為定值,并求這個定值。

 

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科目:高中數學 來源:2013屆福建省高二上學期期末考試理科數學 題型:解答題

(本小題滿分14分)已知橢圓經過點M(2,1),O為坐標原點,平行于OM的直線ly軸上的截距為mm≠0) 

(1)當 時,判斷直線l與橢圓的位置關系;

(2)當時,P為橢圓上的動點,求點P到直線l距離的最小值;

(3)如圖,當l交橢圓于A、B兩個不同點時,求證:

直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形 

 

 

 

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科目:高中數學 來源:0119 期中題 題型:解答題

已知橢圓經過點M(2,1),O為坐標原點,平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),
(1)當m=3時,判斷直線l與橢圓的位置關系(寫出結論,不需證明);
(2)當m=3時,P為橢圓上的動點,求點P到直線l距離的最小值;
(3)如圖,當l交橢圓于A、B兩個不同點時,求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形。

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科目:高中數學 來源:2011-2012學年廣東省廣州市實驗中學高二(上)期中數學試卷(解析版) 題型:解答題

已知橢圓經過點M(2,1),O為坐標原點,平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0).
(1)當m=3時,判斷直線l與橢圓的位置關系(寫出結論,不需證明);
(2)當m=3時,P為橢圓上的動點,求點P到直線l距離的最小值;
(3)如圖,當l交橢圓于A、B兩個不同點時,求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.

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