Question

如圖：已知橢圓A，B，C是長軸長為4的橢圓上三點(diǎn)，點(diǎn)A是長軸的一個(gè)端點(diǎn)，BC過橢圓的中心O，且

AC

•

BC

=0，|

BC

|=2|

AC

|．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）如果橢圓上兩點(diǎn)P，Q使得直線CP，CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，是否總存在實(shí)數(shù)λ使

PQ

=λ

AB

？請給出證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)長軸求得a，點(diǎn)A是長軸的一個(gè)頂點(diǎn)可求得A的坐標(biāo)．根據(jù)

AC

•

BC

=0 ， |

BC

|=2|

AC

|判斷△AOC是等腰直角三角形，進(jìn)而求得C的坐標(biāo)代入橢圓的方程求得b，最后可得橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線PC的方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后根據(jù)△＞0判斷k的范圍．設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁）由韋達(dá)定理可求得x₁和y₁關(guān)于k的表達(dá)式，直線CP、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形推斷直線CP、CQ的斜率互為相反數(shù)，進(jìn)而得到k的范圍，同樣的設(shè)點(diǎn)Q（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理求得x₂和y₂關(guān)于k的表達(dá)式，根據(jù)橢圓是中心對稱圖形求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)

PQ

和

AB

關(guān)系得證．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵橢圓的長軸長為4，
∴a=2，
∵點(diǎn)A是長軸的一個(gè)頂點(diǎn)，
∴A（2，0），
∵

AC

•

BC

=0，|

BC

|=2|

AC

|．
∴△AOC是等腰直角三角形，從而C（1，1），
代入橢圓方程得

1

4

+

1

b2

=1?b2=

4

3

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

3y2

4

=1．

（Ⅱ）設(shè)直線l_PC：y=kx+1-k（k≠0）
與橢圓方程

x2

4

+

3y2

4

=1聯(lián)立得到（3k²+1）x²+6k（1-k）x+3（1-k）²-4=0
則△=[6k（1-k）]²-4（3k²+1）[3（k-1）²-4]=4（3k+1）²＞0從而k≠-

1

3

且k≠0
設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），而C（1，1），由韋達(dá)定理知1+x1=

6k(k-1)

3k2+1

?x1=

3k2-6k-1

3k2+1

代回l_PC：y=kx+1-k得到y1=

-3k2-2k+1

3k2+1

∵直線CP、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形
∴直線CP、CQ的斜率互為相反數(shù)，即k≠-

1

3

， k≠

1

3

且k≠0
故設(shè)點(diǎn)Q（x₂，y₂），同理可知x2=

3k2+6k-1

3k2+1

，y2=

-3k2+2k+1

3k2+1

所以

PQ

=(

12k

3k2+1

，

4k

3k2+1

)
∵橢圓是中心對稱圖形
∴B（-1，-1），

AB

=(-3，-1)
故

PQ

=-

4k

3k2+1

AB

，即總存在實(shí)數(shù)λ使

PQ

=λ

AB

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和平面向量的知識．能考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識的能力．