Question

過直線y=x上一點(diǎn)P引圓x²+y²-6x+7=0的切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（　�。�

• A．

  2

  2

• B．

  3 2

  2

• C．

  10

  2

• D．

  2

Answer 1

分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，要使切線長(zhǎng)的最小，則必須點(diǎn)A到直線的距離最�。�根據(jù)圓的切線垂直于過切點(diǎn)的直徑可得三角形ABC為直角三角形，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線y=x的距離即為|AC|的長(zhǎng)，然后根據(jù)半徑和|AC|的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出此時(shí)的切線長(zhǎng)．

解答：解：圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得（x-3）²+y²=2，
所以圓心A（3，0），半徑為

2

，
要使切線長(zhǎng)的最小，則必須點(diǎn)A到直線的距離最�。�
過圓心A作AC⊥直線y=x，垂足為C，
過C作圓A的切線，切點(diǎn)為B，連接AB，
所以AB⊥BC，此時(shí)的切線長(zhǎng)CB最短．
∵圓心A到直線y=x的距離|AC|=

|3|

1+1

=

3 2

2

，
根據(jù)勾股定理得|CB|=

( 3 2 2 )2-( 2 )2

=

10

2

故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是找出切線長(zhǎng)最短時(shí)的條件，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形．