Question

已知x+y=-1，且x，y都是負(fù)數(shù)，求xy+

1

xy

的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用基本不等式的性質(zhì)xy=t∈(0，

1

4

]，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：∵x+y=-1，且x，y都是負(fù)數(shù)，
∴1=（-x）+（-y）≥2

(-x)(-y)

，化為xy≤

1

4

，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-

1

2

時(shí)取等號(hào)．
令xy=t∈(0，

1

4

]
則xy+

1

xy

=t+

1

t

=f（t）．
f′（t）=1-

1

t2

＜0，因此函數(shù)f（t）在t∈(0，

1

4

]單調(diào)遞減，
∴f（t）≥f(

1

4

)=

17

4

．
∴xy+

1

xy

的最小值為

17

4

，而無(wú)最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，屬于基礎(chǔ)題．