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設橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左,右焦點分別為F1,F(xiàn)2,離心率為e=
2
2
,以F1為圓心,|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0
相切.
(I)求橢圓C的方程;
(II)直線y=x交橢圓C于A、B兩點,D為橢圓上異于A、B的點,求△ABD面積的最大值.
分析:(I)根據橢圓的離心率為e=
2
2
,以F1為圓心,|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0
相切,即可確定幾何量的值,從而可得橢圓C的方程;
(II)直線y=x代入橢圓方程,可求|AB|的長,求出點D到直線的距離的最大值,即可求得△ABD面積的最大值.
解答:解:(I)∵橢圓的離心率為e=
2
2
,∴
c
a
=
2
2

∵以F1為圓心,|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0
相切
|-c-3|
2
=2c
,∴c=1
∴a=
2
,∴b2=a2-c2=1
∴橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1
;
(II)直線y=x代入橢圓方程可得
3
2
x2
=1,∴x=±
6
3
,∴|AB|=
4
3
3

設橢圓上點的坐標為D(
2
cosα,sinα),則該點D到直線的距離為
|
2
cosα-sinα|
2
=
|
3
sin(α-φ)|
2
3
2

∴△ABD面積的最大值為
1
2
×
4
3
3
×
3
2
=
2
點評:本題考查橢圓的標準方程,考查三角形面積的計算,解題的關鍵是求出點到直線距離的最大值,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

設橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>1)右焦點為F,它與直線l:y=k(x+1)相交于P、Q兩點,l與x軸的交點M到橢圓左準線的距離為d,若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項.
(1)求橢圓離心率e;
(2)設N與M關于原點O對稱,若以N為圓心,b為半徑的圓與l相切,且
OP
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網設橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左.右焦點分別為F1F2,上頂點為A,過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q,且2
F1F2
+
F2Q
=
0

(1)若過A.Q.F2三點的圓恰好與直線l:x-
3
y-3=0相切,求橢圓C的方程;
(2)在(1)的條件下,過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M.N兩點.試證明:
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值;②在x軸上是否存在點P(m,0)使得以PM,PN為鄰邊的平行四邊形是菱形,如果存在,求出m的取值范圍,如果不存在,說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•鹽城一模)設橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
恒過定點A(1,2),則橢圓的中心到準線的距離的最小值
5
+2
5
+2

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科目:高中數學 來源: 題型:

設橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,若P 是橢圓上的一點,|
PF1
|+|
PF2
|=4
,離心率e=
3
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)若P 是第一象限內該橢圓上的一點,
PF1
PF2
=-
5
4
,求點P的坐標;
(3)設過定點P(0,2)的直線與橢圓交于不同的兩點A,B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標原點),求直線l的斜率k的取值范圍.

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