如圖，已知平面內(nèi)一動點到兩個定點、的距離之和為，線段的長為.

（1）求動點的軌跡的方程；
（2）過點作直線與軌跡交于、兩點，且點在線段的上方，
線段的垂直平分線為.
①求的面積的最大值；
②軌跡上是否存在除、外的兩點、關于直線對稱，請說明理由.

（1）參考解析；（2）①；②參考解析

解析試題分析：（1）由于c的大小沒確定，所以點A的軌跡，根據(jù)c的大小有三種情況.
（2）①由可得點A的軌跡方程為橢圓，求的面積的最大值即求出點A到直線距離的最大值.即點A在橢圓的上頂點上即可.本小題通過建立三角函數(shù)同樣可以求得三角形面積最大時的情況.
②當時，顯然存在除、外的兩點、關于直線對稱.當直線AC不垂直于時，不存在除、外的兩點、關于直線對稱.通過假設存在，利用點差法即可得到，.由于H,M分別是兩條弦的中點，并且都被直線m平分.所以.由.所以不存在這樣的直線.
試題解析：（1）因為，軌跡是以、為焦點的橢圓，3分
（2）以線段的中點為坐標原點，以所在直線為軸建立平面直角坐標系，
可得軌跡的方程為7分
①解法1：設表示點到線段的距離
，8分
要使的面積有最大值，只要有最大值
當點與橢圓的上頂點重合時，
的最大值為10分
解法2：在橢圓中，設，記
點在橢圓上，由橢圓的定義得：

在中，由余弦定理得：
配方，得：
從而

得8分
根據(jù)橢圓的對稱性，當最大時，最大
當點與橢圓的上頂點重合時，
最大值為10分
②結論：當時，顯然存在除、外的兩點、關于直線對稱11分
下證當與不垂直時，不存在除、外的兩點、關于直線對稱12分
證法1：假設存在這樣的兩個不同的點

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知、為橢圓的左右焦點，點為其上一點，且有
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過的直線與橢圓交于、兩點，過與平行的直線與橢圓交于、兩點，求四邊形的面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知曲線的方程為，過原點作斜率為的直線和曲線相交，另一個交點記為，過作斜率為的直線與曲線相交，另一個交點記為，過作斜率為的直線與曲線相交，另一個交點記為，如此下去，一般地，過點作斜率為的直線與曲線相交，另一個交點記為，設點（）．
（1）指出，并求與的關系式（）；
（2）求（）的通項公式，并指出點列，，，向哪一點無限接近？說明理由；
（3）令，數(shù)列的前項和為，試比較與的大小，并證明你的結論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設拋物線:的準線與軸交于點,焦點為;橢圓以和為焦點,離心率.設是與的一個交點.

(1)求橢圓的方程.
(2)直線過的右焦點,交于兩點,且等于的周長,求的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分15分）
已知橢圓C：＋＝1的離心率為，左焦點為F(－1，0)，
(1) 設A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線L與橢圓C交于M，N兩點，若，求直線L的方程；
(2)橢圓C上是否存在三點P，E，G，使得S△OPE＝S△OPG＝S△OEG＝？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓過點，且離心率為.斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點，以為底邊作等腰三角形，頂點為.
（1）求橢圓的方程；
（2）求△的面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知中心在坐標原點,焦點在軸上的橢圓過點,且它的離心率.
 
(1)求橢圓的標準方程;
(2)與圓相切的直線交橢圓于兩點,若橢圓上一點滿足,求實數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過右焦點作斜率為的直線交曲線于、兩點，且，又點關于原點的對稱點為點，試問、、、四點是否共圓？若共圓，求出圓心坐標和半徑；若不共圓，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的由頂點為A，右焦點為F，直線與x軸交于點B且與直線交于點C，點O為坐標原點，,過點F的直線與橢圓交于不同的兩點M,N.

（1）求橢圓的方程；
（2）求的面積的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案