如圖，已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和為，線段的長(zhǎng)為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過點(diǎn)作直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段的上方，
線段的垂直平分線為.
①求的面積的最大值；
②軌跡上是否存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，請(qǐng)說明理由.

（1）參考解析；（2）①；②參考解析

解析試題分析：（1）由于c的大小沒確定，所以點(diǎn)A的軌跡，根據(jù)c的大小有三種情況.
（2）①由可得點(diǎn)A的軌跡方程為橢圓，求的面積的最大值即求出點(diǎn)A到直線距離的最大值.即點(diǎn)A在橢圓的上頂點(diǎn)上即可.本小題通過建立三角函數(shù)同樣可以求得三角形面積最大時(shí)的情況.
②當(dāng)時(shí)，顯然存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱.當(dāng)直線AC不垂直于時(shí)，不存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱.通過假設(shè)存在，利用點(diǎn)差法即可得到，.由于H,M分別是兩條弦的中點(diǎn)，并且都被直線m平分.所以.由.所以不存在這樣的直線.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d1/4/mhr1o.png" style="vertical-align:middle;" />，軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，3分
（2）以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
可得軌跡的方程為7分
①解法1：設(shè)表示點(diǎn)到線段的距離
，8分
要使的面積有最大值，只要有最大值
當(dāng)點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)重合時(shí)，
的最大值為10分
解法2：在橢圓中，設(shè)，記
點(diǎn)在橢圓上，由橢圓的定義得：

在中，由余弦定理得：
配方，得：
從而

得8分
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，當(dāng)最大時(shí)，最大
當(dāng)點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)重合時(shí)，
最大值為10分
②結(jié)論：當(dāng)時(shí)，顯然存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱11分
下證當(dāng)與不垂直時(shí)，不存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱12分
證法1：假設(shè)存在這樣的兩個(gè)不同的點(diǎn)

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知、為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為其上一點(diǎn)，且有
.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，過與平行的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，求四邊形的面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知曲線的方程為，過原點(diǎn)作斜率為的直線和曲線相交，另一個(gè)交點(diǎn)記為，過作斜率為的直線與曲線相交，另一個(gè)交點(diǎn)記為，過作斜率為的直線與曲線相交，另一個(gè)交點(diǎn)記為，如此下去，一般地，過點(diǎn)作斜率為的直線與曲線相交，另一個(gè)交點(diǎn)記為，設(shè)點(diǎn)（）．
（1）指出，并求與的關(guān)系式（）；
（2）求（）的通項(xiàng)公式，并指出點(diǎn)列，，，向哪一點(diǎn)無限接近？說明理由；
（3）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)拋物線:的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),焦點(diǎn)為;橢圓以和為焦點(diǎn),離心率.設(shè)是與的一個(gè)交點(diǎn).

(1)求橢圓的方程.
(2)直線過的右焦點(diǎn),交于兩點(diǎn),且等于的周長(zhǎng),求的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分15分）
已知橢圓C：＋＝1的離心率為，左焦點(diǎn)為F(－1，0)，
(1) 設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為k的直線L與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若，求直線L的方程；
(2)橢圓C上是否存在三點(diǎn)P，E，G，使得S△OPE＝S△OPG＝S△OEG＝？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為.斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）求△的面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓過點(diǎn),且它的離心率.
 
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)與圓相切的直線交橢圓于兩點(diǎn),若橢圓上一點(diǎn)滿足,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過右焦點(diǎn)作斜率為的直線交曲線于、兩點(diǎn)，且，又點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，試問、、、四點(diǎn)是否共圓？若共圓，求出圓心坐標(biāo)和半徑；若不共圓，請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的由頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，直線與x軸交于點(diǎn)B且與直線交于點(diǎn)C，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，,過點(diǎn)F的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M,N.

（1）求橢圓的方程；
（2）求的面積的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案