(2013•三門(mén)峽模擬)已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為
1
2
,F(xiàn)1、F2分別為其左右焦點(diǎn).一動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)F2,且與直線x=-1相切.
(Ⅰ)(。┣髾E圓C1的方程; (ⅱ)求動(dòng)圓圓心C軌跡的方程;
(Ⅱ)在曲線上C有兩點(diǎn)M、N,橢圓C1上有兩點(diǎn)P、Q,滿足MF2
NF2
共線,
PF2
QF2
共線,且
PF2
MF2
=0,求四邊形PMQN面積的最小值.
分析:(Ⅰ)(。┯深}設(shè)知:
2a=4
e=
c
a
=
1
2
,由此能求出橢圓方程.
(ⅱ)由已知可得動(dòng)圓圓心軌跡為拋物線,且拋物線C的焦點(diǎn)為(1,0),準(zhǔn)線方程為x=1,由此能求出動(dòng)圓圓心軌跡方程.
(Ⅱ)當(dāng)直線斜率不存在時(shí),|MN|=4,此時(shí)PQ的長(zhǎng)即為橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng),|PQ|=4,從而四邊形PMQN面積為8;設(shè)直線MN的斜率為k,直線MN的方程為:y=k(x-1),直線PQ的方程為y=
1
k
(x-1)
,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),由
y=k(x-1)
y2=4x
,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由拋物線定義可知:|MN|=4+
4
k2
,由此求出SPMQN=
24
3-
2
t
-
1
t2
>8,所以四邊形PMQN面積的最小值為8.
解答:解:(Ⅰ)(。┯深}設(shè)知:
2a=4
e=
c
a
=
1
2
,
∴a=2,c=1,b=
4-1
=
3
,
∴所求的橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1

(ⅱ)由已知可得動(dòng)圓圓心軌跡為拋物線,
且拋物線C的焦點(diǎn)為(1,0),
準(zhǔn)線方程為x=1,則動(dòng)圓圓心軌跡方程為C:y2=4x.
(Ⅱ)當(dāng)直線斜率不存在時(shí),|MN|=4,
此時(shí)PQ的長(zhǎng)即為橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng),|PQ|=4,
從而SPMQN=
1
2
|MN|•|PQ|=
1
2
×4×4
=8,
設(shè)直線MN的斜率為k,直線MN的方程為:y=k(x-1),
直線PQ的方程為y=-
1
k
(x-1)

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),
y=k(x-1)
y2=4x
,消去y可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
由拋物線定義可知:
|MN|=|MF2|+|NF2|=x1+1+x2+1
=
2k2+4
k2
+2
=4+
4
k2
,
y=
1
k
(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
,消去y得(3k2+4)x2-8x+4-12k2=0,
從而|PQ|=
1+(-
1
k
)
2
|x3-x4|
=
12(1+k2)
3k2+4
,
∴SPMQN=
1
2
|MN|•|PQ|
=
1
2
|MN|•|PQ|

=
1
2
(4+
4
k2
)•
12(1+k2)
3k2+4

=24
(1+k2)2
3k4+4k2
,
令1+k2=t,∵k2>0,則t>1,
則SPMQN=
24t2
3(t-1)2+4(t-1)

=
24t2
3t2-2t-1

=
24
3-
2
t
-
1
t2

因?yàn)?-
2
t
-
1
t2
=4-(1+
1
t
2∈(0,3),
所以SPMQN=
24
3-
2
t
-
1
t2
>8,
所以四邊形PMQN面積的最小值為8.
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓方程和軌跡方程的求法,考查四邊形面積的最小值的求法.綜合性強(qiáng),難度大,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•三門(mén)峽模擬)給出下列四個(gè)命題:
①函數(shù)y=sin(2x-
π
6
)
的圖象沿x軸向右平移
π
6
個(gè)單位長(zhǎng)度所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是y=cos2x.
②函數(shù)y=lg(ax2-2ax+1)的定義域是R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1).
③單位向量
a
、
b
的夾角為60°,則向量2
a
-
b
的模為
3

④用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3…(2n-1)(n∈N*)時(shí),從k到k+1的證明,左邊需增添的因式是2(2k+1).
其中正確的命題序號(hào)是
③④
③④
(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)).

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