Question

已知函數(shù)f（x）=cosxsinx（x∈R），給出下列四個(gè)命題：
①f（x）為奇函數(shù)          
②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上是增函數(shù)；     
④f（x）的圖象關(guān)于直線x=

3π

4

對(duì)稱；
其中正確的命題為（　�。�

A．①②④

B．①③④

C．②③

D．③④

Answer 1

分析：將函數(shù)f（x）=cosxsinx進(jìn)行化簡(jiǎn)得到f（x）=

1

2

sin2x，然后利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別判斷．

解答：解：因?yàn)閒（x）=cosxsinx）=

1

2

sin2x．
所以f（x）為奇函數(shù)，即①正確．
函數(shù)的周期T=

2π

2

=π，所以②錯(cuò)誤．
當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時(shí)，2x∈[-

π

2

，

π

2

]，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，所以③正確．
當(dāng)x=

3π

4

時(shí)，f(

3π

4

)=

1

2

sin(2×

3π

4

)=

1

2

sin

3π

2

=-

1

2

，為最小值，所以f（x）的圖象關(guān)于直線x=

3π

4

對(duì)稱，
即④正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握三角函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，周期性以及對(duì)稱性．