Question

10．經(jīng)過(guò)函數(shù)$y=\frac{1}{x}$上一點(diǎn)M引切線(xiàn)l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記△OAB的面積為S，則S=2．

Answer 1

分析 設(shè)P（x₀，y₀）為$y=\frac{1}{x}$上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作曲線(xiàn)C的切線(xiàn)l，利用導(dǎo)數(shù)可求得切線(xiàn)l的斜率及方程，從而可求得l與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而可求△OAB的面積．

解答 解：設(shè)P（x₀，y₀）為$y=\frac{1}{x}$上任一點(diǎn)，則y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$．
∵y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，設(shè)過(guò)$y=\frac{1}{x}$上一點(diǎn)P的切線(xiàn)l的斜率為k，
則k=-$\frac{1}{{x}_{{0}^{2}}}$，
∴切線(xiàn)l的方程為：y-y₀=-$\frac{1}{{x}_{{0}^{2}}}$（x-x₀），
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{1}{{x}_{0}}$+y₀=$\frac{2}{{x}_{0}}$，即B（0，$\frac{2}{{x}_{0}}$）；
當(dāng)y=0時(shí)，x=y₀•x₀²+x₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x₀²+x₀=2x₀，即A（2x₀，0）；
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|=$\frac{1}{2}$×|2x₀|•|$\frac{2}{{x}_{0}}$|=2．
故答案為：2

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求過(guò)$y=\frac{1}{x}$上一點(diǎn)P的切線(xiàn)l的斜率，考查直線(xiàn)的方程及截距，考查三角形的面積公式，屬于中檔題．