Question

設(shè)是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，且公差，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列。

（1）當(dāng)n=4時(shí)，求的數(shù)值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

（2）求n的所有可能值。

Answer 1

解析：（1）當(dāng)n=4時(shí)，中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則推出d=0。若刪去，則有，即,化簡(jiǎn)得，因?yàn)閐0，所以，故得；若刪去，則有，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)閐0，所以，故得.綜上或-4。

（2）若，則從滿足題設(shè)的數(shù)列中刪去一項(xiàng)后得到的數(shù)列，必有原數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，從而這三項(xiàng)既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，故由“基本事實(shí)”知，數(shù)列的公差必為0，這與題設(shè)矛盾。所以滿足題設(shè)的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)。又因題設(shè)，故n=4或5。當(dāng)n=4時(shí)，由(1)中的討論知存在滿足題設(shè)的數(shù)列。當(dāng)n=5時(shí)，若存在滿足題設(shè)的數(shù)列，則由“基本事實(shí)”知，刪去的項(xiàng)只能是，從而成等比數(shù)列，故及

。分別化簡(jiǎn)上述兩個(gè)等式，得及，故d=0，矛盾。因此不存在滿足題設(shè)的項(xiàng)數(shù)為5的等差數(shù)列。綜上可知， n只能為4.