Question

設函數(shù)f（x）=x²-a．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）=xf（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值；
（Ⅱ）當a＞0時，記曲線y=f（x）在點P（x₁，f（x₁））（）處的切線為l，l與x軸交于點A（x₂，0），求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出f（x）的導數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，求出極值；研究閉區(qū)間上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點處的函數(shù)值的大小，最后確定出最小值．
（II）欲判別x₁和x₂的大小，只須先求出其斜率的值，再利用導數(shù)求出在x=x₁處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．最后求出切線的方程，令y=0求得x₂，作差與0比較即得．
解答：解：（Ⅰ）g（x）=x³-ax，g′（x）=3x²-a，（2分）
當a≤0時，g（x）為R上的增函數(shù)，
所以g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為g（0）=0；（4分）
當a＞0時，g′（x）的變化情況如下表：
所以，函數(shù)g（x）在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（6分）
當，即0＜a＜3時，g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為；（7分）
當，即a≥3時，g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為g（1）=1-a．（8分）
綜上，當a≤0時，g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為g（0）=0；當0＜a＜3時，g（x）的最小值為；當a≥3時，g（x）的最小值為1-a．
（Ⅱ）證明：曲線y=f（x）在點P（x₁，f（x₁））（）處的切線方程為y-（x₁²-a）=2x₁（x-x₁），
令y=0，得，（10分）
所以，因為，所以，x₂＜x₁．（11分）
因為，所以，
所以，（13分）
所以．（14分）
點評：本小題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．