對任意的實數(shù)x恒有3sin2x-cos2x+4acosx+a2≤31,則實數(shù)a的取值范圍是
 
考點:三角函數(shù)的最值
專題:三角函數(shù)的求值
分析:設(shè)y=3sin2x-cos2x+4acosx+a2=3+2a2-4(cosx-
a
2
)
2
,再分a∈[-2,2]時、當(dāng)a<-2時、當(dāng)a>2時三種情況,分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得y的最大值,再根據(jù)y的最大值小于或等于31,求得a的范圍,綜合可得結(jié)論.
解答: 解:設(shè)y=3sin2x-cos2x+4acosx+a2=3-4cos2x+4acosx+a2=3+2a2-4(cosx-
a
2
)
2
,
當(dāng)a∈[-2,2]時,
a
2
∈[-1,1],故當(dāng)cosx=
a
2
時,函數(shù)y取得最大值為3+2a2
再根據(jù)3+2a2≤31,求得-
14
≤a≤
14

當(dāng)a<-2時,
a
2
<-1,故當(dāng)cosx=-1時,函數(shù)y取得最大值為a2-4a-1,再根據(jù)a2-4a-1≤31,求得-4≤a<-2.
當(dāng)a>2時,
a
2
>1,故當(dāng)cosx=1時,函數(shù)y取得最大值為a2-4a-1,再根據(jù)a2-4a-1≤31,求得2<a≤4.
綜上可得,a的范圍為[-4,4],
故答案為:[-4,4].
點評:本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,二次函數(shù)的性質(zhì),體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某校高一年級共有800名學(xué)生,其中男生480名,女生320名,在某次滿分為100分的數(shù)學(xué)考試中,所有學(xué)生成績在30分及30分以上,成績在“80分及80分以上”的學(xué)生視為優(yōu)秀.現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法共抽取100名學(xué)生,將他們的成績按[30,40]、[40,50]、[50,60]、[60,70]、[70,80]、[80,90]、[90,100]分成七組.得到的頻率分布直方圖如圖所示:
(1)請將下列2×2列聯(lián)表補充完整,計算并說明是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”?
數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀合計
男生12
女生
合計100
(2)在第1組、第7組中共抽處學(xué)生3人調(diào)查影響數(shù)學(xué)成績的原因,記抽到“成績優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列及期望.
附:K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k00.150.100.05
K02.0722.7063.841

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某校高一年級共有800名學(xué)生,其中男生480名,女生320名,在某次滿分為100分的數(shù)學(xué)考試中,所有學(xué)生成績在30分及30分以上,成績在“80分及80分以上”的學(xué)生視為優(yōu)秀,現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取100名學(xué)生,將他們的成績按[30,40)、[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100)分成七組,得到的頻率分布直方圖如圖所示:
(Ⅰ)估計該年紀(jì)本次數(shù)學(xué)考試成績的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點值做代表);
(Ⅱ)請將下列2×2列聯(lián)表補充完整,計算并說明是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與性別有關(guān)”.
 數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀合計
男生12  
女生   
合計  100
附:K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
,其中n=a+b+c+d
P(K2>k00.150.100.05
k02.0722.7063.841

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在同一坐標(biāo)系下表示函數(shù)y=ax2+bx與函數(shù)y=ax+b(ab≠0)的圖象,正確的是( 。
A、
B、
C、
D、

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
-x2,x<0
g(x),x>0
,若f(x)是奇函數(shù),則g(2)的值是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2

(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若f(A)=1,a=1,c=
3
,求b值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

偶函數(shù)f(x)在[-1,0]上為減函數(shù),A、B為某個銳角三角形的兩個內(nèi)角,則(  )
A、f(cosA)>f(cosB)
B、f(sinA)>f(sinB)
C、f(sinA)>f(cosB)
D、f(sinA)<f(cosB)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=g(x)與函數(shù)y=3x互為反函數(shù),則g(27)的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若在(x+
3
x
)
n
的展開式中,各系數(shù)之和為A,各二項式系數(shù)之和為B,且A+B=72,則n的值為(  )
A、3B、4C、5D、6

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