Question

已知函數(shù)f(x)=

a

•

b

，其中

a

=(2cosx，

3

sinx)，

b

=(cosx，-2cosx)．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的單調(diào)遞增區(qū)間和值域；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C 的對邊，f（A）=-1，且b=1△ABC的面積S=

3

，求邊a的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積，二倍角公式兩角差的余弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式，然后結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，確定函數(shù) 在[0，

π

2

]上的單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間，然后求出函數(shù)的最大值最小值，即可確定函數(shù)的值域．
（2））由于f（A）=-1，求得A=

π

3

又S=

1

2

×1×c×sin600=

3

求得c=4最后由余弦定理得a值即可．

解答：解：（1）f(x)=2cosx•cosx-2

3

sinx•cosx=1-(

3

sin2x-cos2x)=1-2sin(2x-

π

6

)（2分）
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5

6

π，k∈Z，
又[0，

π

2

]∴單調(diào)增區(qū)間為[

π

3

，

π

2

]．（4分）
由-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1∴-1≤f（x）≤2∴f（x）∈[-1，2]（6分）
（2）∵f（A）=-1，∴A=

π

3

，（8分）
又S=

1

2

×1×c×sin600=

3

，∴c=4（10分）
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=13a=

13

（12分）

點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡求值，單調(diào)區(qū)間的求法，最值的求法，考查計算能力，注意函數(shù)值域的確定中，區(qū)間的討論，單調(diào)性的應(yīng)用是解題的易錯點(diǎn)．