Question

已知某公司生產(chǎn)某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)千件需另投入2.7萬元，設(shè)該公司年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R（x）萬元，且R（x）滿足：（1）當(dāng)0＜x≤10時銷售收入與生產(chǎn)服裝的平方成一次關(guān)系，x=3千件時銷售收入為10.5萬元；x=9千件時銷售收入為8.1萬元．（2）當(dāng)x＞10時銷售收入與生產(chǎn)服裝的關(guān)系式為R(x)=

108

x

-

1000

3x2

．
（1）寫出年利潤W（萬元）關(guān)于年出品x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千件時，該公式在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)當(dāng)0＜x≤10時銷售收入與生產(chǎn)服裝的平方成一次關(guān)系，x=3千件時銷售收入為10.5萬元；x=9千件時銷售收入為8.1萬元，求出當(dāng)0＜x≤10時銷售收入與生產(chǎn)服裝的關(guān)系，再由年利潤W=年產(chǎn)量x×每千件的銷售收入為R（x）-成本．我們易得年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）由（1）的解析式，我們求出各段上的最大值，即利潤的最大值，然后根據(jù)分段函數(shù)的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到結(jié)果．

解答：解：（1）∵當(dāng)0＜x≤10時銷售收入與生產(chǎn)服裝的平方成一次關(guān)系
∴可設(shè)R（x）=kx²+b
∵x=3千件時銷售收入為10.5萬元；x=9千件時銷售收入為8.1萬元
∴

10.5=9k+b 8.1=81k+b

∴b=10.8，k=-

1

30

∴當(dāng)0＜x≤10時，銷售收入與生產(chǎn)服裝的關(guān)系式為R(x)=-

1

30

x2+10.8
∴0＜x≤10時，W=xR（x）-（10+2.7x）=8.1x-

x3

30

-10；
當(dāng)x＞10時，W=xR（x）-（10+2.7x）=98-

1000

3x

-2.7x．
∴W=

8.1x- x3 30 -10 ，(0＜x≤10) 98- 1000 3x -2.7x ，(x＞10)

（2）①當(dāng)0＜x＜10時，由W'=8.1-

x2

10

=0，得x=9，
且當(dāng)x∈（0，9）時，W'＞0；當(dāng)x∈（9，10）時，W'＜0，
∴當(dāng)x=9時，W取最大值，且Wmax=8.1×9-

1

30

×93-10=38.6
②當(dāng)x＞10時，W=98-(

1000

3x

+2.7x)≤98-2

1000 3x •2.7x

=38
當(dāng)且僅當(dāng)

1000

3x

=2.7x，
即x=

100

9

時，W=38，
故當(dāng)x=

100

9

時，W取最大值38．
綜合①②知當(dāng)x=9時，W取最大值38.6萬元，故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大．

點評：本題考查的知識點是分段函數(shù)及函數(shù)的最值，分段函數(shù)分段處理，這是研究分段函數(shù)圖象和性質(zhì)最核心的理念，具體做法是：分段函數(shù)的定義域、值域是各段上x、y取值范圍的并集，分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性要在各段上分別論證；分段函數(shù)的最大值，是各段上最大值中的最大者．