設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=2x2+(x-a)|x-a|
(1)求f(a+1);
(2)若a=3,用分段函數(shù)的形式表示f(x),并求出f(x)的最小值;
(3)求f(x)的最小值g(a).
分析:(1)直接代入計(jì)算即可;
(2)由a=3,可得f(x)=2x2+(x-3)|x-3|=
3x2-6x+9,x≥3
x2+6x-9,x<3
,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出;
(3)f(x)=
3x2-2ax+a2,x≥a
x2+2ax-a2,x<a
.分類討論:當(dāng)a>0時(shí),x≥a時(shí),f(x)=3(x-
a
3
)2+
2a2
3
;x<a時(shí),f(x)=(x+a)2-2a2.利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
當(dāng)a<0時(shí),x≥a時(shí),f(x)=3(x-
a
3
)2+
2a2
3
;x<a時(shí),f(x)=(x+a)2-2a2≥f(a)=2a2.利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出.當(dāng)a=0時(shí),f(x)=3x2≥0.
解答:解:(1)f(a+1)=2(a+1)2+(a+1-a)|a+1-a|=2(a+1)2+1;
(2)若a=3,則f(x)=2x2+(x-3)|x-3|=
3x2-6x+9,x≥3
x2+6x-9,x<3

①當(dāng)x≥3時(shí),f(x)=3(x-1)2+6,函數(shù)f(x)在[3,+∞)上單調(diào)遞增,
∴x=3時(shí),f(x)取得最小值,f(3)=18.
②當(dāng)x<3時(shí),f(x)=(x+3)2-18,當(dāng)x=-3時(shí),f(x)取得最小值,f(-3)=-18.
(3)f(x)=
3x2-2ax+a2,x≥a
x2+2ax-a2,x<a

①當(dāng)a>0時(shí),x≥a時(shí),f(x)=3(x-
a
3
)2+
2a2
3
≥f(a)=2a2;
x<a時(shí),f(x)=(x+a)2-2a2≥f(-a)=-2a2
綜上可得:a>0時(shí),f(x)min=-2a2
②當(dāng)a<0時(shí),x≥a時(shí),f(x)=3(x-
a
3
)2+
2a2
3
≥f(
a
3
)=
2a2
3
;
x<a時(shí),f(x)=(x+a)2-2a2≥f(a)=2a2
綜上可得:a<0時(shí),f(x)min=
2a2
3

③當(dāng)a=0時(shí),f(x)=3x2≥0,此時(shí)最小值為0.
綜上可得:當(dāng)a≥0時(shí),f(x)min=-2a2;
        當(dāng)a<0時(shí),f(x)min=
2a2
3
點(diǎn)評(píng):本題考查了含絕對(duì)值的函數(shù)的最小值、二次函數(shù)的單調(diào)性、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于難題.
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