Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AP⊥BP，AC⊥BC，∠PAB=60°，∠ABC=45°，D是AB中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為PD，PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在點(diǎn)M，使得CM∥平面AEF？若存在，求 的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵AP⊥BP，D是AB中點(diǎn)，
∴PD=AD，
又∠PAB=60°，∴△PAD是等邊三角形，
又E為PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD，
∵AC⊥BC，∠ABC=45°，
又D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABC，又平面PAB∩平面ABC=AB，
∴CD⊥平面PAB，∵AE平面PAB，∴CD⊥AE，
又CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．
（Ⅱ）解：以A為原點(diǎn)，作Ax∥DC，以AB所在直線(xiàn)為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=2a，則A（0，0，0），B（0，2a，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0， ），
∵CD⊥平面PAB，∴平面PAB的一個(gè)法向量為 =（﹣a，0，0），
設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為 =（x，y，z），
則 ，令x=1，得 =（1，﹣1， ），
設(shè)二面角B﹣PA﹣C的平面角為θ，
由圖知，二面角B﹣PA﹣C為銳角，
∴cosθ= = = ，
∴二面角B﹣PA﹣C的余弦值為 ．
（Ⅲ）PB上存在M，使得CM∥平面AEF，此時(shí) = ．
證明：在平面ABP中，延長(zhǎng)AE交BP為G，
取BG中點(diǎn)M，∵M(jìn)為BG中點(diǎn)，D為AB中點(diǎn)，
∴DM∥AG，又E為PD中點(diǎn)，∴G為PM中點(diǎn)，
此時(shí)， = ，∴DM∥AE，
∵DM面AEF，AE面AEF，
∴DM∥平面AEF，
∵E，F(xiàn)分別是PD，PC的中點(diǎn)，
∴CD∥EF，CD面AEF，EF平面AEF，
∴CD∥平面AEF，CD∩DM=D，CD面CDM，DM面CDM，
∴面CDM∥面AEF，
∵CM面CDM，∴CM∥面AEF．

【解析】（Ⅰ）推導(dǎo)出PD=AD，從而△PAD是等邊三角形，進(jìn)而AE⊥PD，再求出CD⊥AB，從而CD⊥平面PAB，進(jìn)而CD⊥AE，由此能證明AE⊥平面PCD．（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，作Ax∥DC，以AB所在直線(xiàn)為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B﹣PA﹣C的余弦值．（Ⅲ）在平面ABP中，延長(zhǎng)AE交BP為G，取BG中點(diǎn)M，推導(dǎo)出G為PM中點(diǎn)，此時(shí)， = 從而DM∥平面AEF，推導(dǎo)出面CDM∥面AEF，從而得到CM∥面AEF．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線(xiàn)與平面平行的判定和直線(xiàn)與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行；一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題．