已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=k·.

(I)求函數(shù)F(x)= f(x)- g(x)的單調區(qū)間；

(Ⅱ)當x>1時，函數(shù)f(x)> g(x)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；

(Ⅲ)設正實數(shù)a1，a2，a3，，an滿足a1+a2+a3++an=1，

求證：ln(1+)+ln(1+)++ln(1+)>．

 

【答案】

（1）當時，只有單調遞增區(qū)間

當時，單調遞增區(qū)間為，

單調遞減區(qū)間為  

（2）

（3）由（2）知，在恒成立，那么構造函數(shù)借助于單調性來得到求證。

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）   --- 1分

由的判別式

①當即時，恒成立，則在單調遞增    2分

②當時，在恒成立，則在單調遞增      3分

③當時，方程的兩正根為

則在單調遞增，單調遞減，單調遞增

綜上，當時，只有單調遞增區(qū)間

當時，單調遞增區(qū)間為，

單調遞減區(qū)間為   5分

（Ⅱ）即時，恒成立

當時，在單調遞增 ∴當時，滿足條件  7分

當時，在單調遞減

則在單調遞減

此時不滿足條件

故實數(shù)的取值范圍為                                         9分

（Ⅲ）由（2）知，在恒成立

令 則         10分

∴                   11分

又

∴                          13分

∴              

考點：導數(shù)的運用

點評：主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用，解決的關鍵是利用導數(shù)的符號判定函數(shù)的單調性，進而得到不等式的證明，屬于中檔題。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數(shù)a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數(shù)．

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