已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
 （1）求橢圓E的方程；
 （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，求△ABC的面積的最大值．
分析：（1）橢圓方程中給出了短半軸長，結(jié)合離心率等于
1
2
即可求出a的值，則橢圓方程可求；
（2）由橢圓的對稱性可知圓心在x軸上，把x=t和橢圓方程聯(lián)立求出圓的半徑，然后由弦心距公式求出AB的長，代入面積公式后利用基本不等式求最值．
解答：解：（1）∵橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
，
∴
a2-3
a
=
1
2
，解得a=2．
∴橢圓E的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）依題意，圓心C（t，0）（0＜t＜2）．
由
x=t
x2
4
+
y2
3
=1
，得y2=
12-3t2
4
．
∴圓C的半徑為r=
12-3t2
2
．
∵圓C與y軸相交于不同的兩點A，B，且圓心C到y(tǒng)軸的距離d=t，
∴0＜t＜
12-3t2
2
，即0＜t＜
2
21
7
．
∴弦長|AB|=2
r2-d2
=2
12-3t2
4
-t2
=
12-7t2
．
∴△ABC的面積S=
1
2
•t•
12-7t2
=
1
2
7
×(
7
t)•
12-7t2

≤
1
2
7
×
(
7
t)2+12t-7t2
2
=
3
7
7
．
當且僅當
7
t=
12-7t2
，即t=
42
7
時等號成立．
所以△ABC的面積的最大值為
3
7
7
．
點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，考查了學(xué)生的計算能力，是有一定難度題目．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦點為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P是雙曲線G上異于頂點的任一點，直線PF1、PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長等于8
2
，橢圓四個頂點組成的菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關(guān)系；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過點B2（0，b）作圓F1的兩條切線，設(shè)切點為M、N．
（1）若過兩個切點M、N的直線恰好經(jīng)過點B1（0，-b）時，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點到直線MN的距離為4（
2
-1），求此時的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區(qū)間（-
2
2
，-
3
3
）內(nèi)取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個交點為F1(-
3
，0)，而且過點H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的上下頂點分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點，直線PA1，PA2分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當圓C與y軸相切的時候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標原點，求△OMN面積的最大值．

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