Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線互相垂直，且C的焦點到其漸近線的距離為

2

，過點E（1，0）且傾斜角為銳角的直線l交C于A、B兩點．
（I）求雙曲線C的方程；
（II）若

EA

=t

EB

，且1＜t＜3，求直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由焦點（ c，0）到漸近線bx-ay=0 的距離為

2

，求出b，再由兩條漸近線互相垂直，求得a=b=

2

，從而得到雙曲線C的方程．
（II） 把直線l的方程代入圓的方程，應用判別式大于0及根與系數(shù)的關系，結合

EA

=t

EB

，得到 

4

k2-1

=t+

1

t

+2，由t的范圍求出

4

k2-1

的范圍，進而得到k的范圍．

解答：解：（I）由焦點（ c，0）到漸近線bx-ay=0 的距離為

2

，
得

2

=

|bc-0|

a2+b2

，b=

2

．
∵兩條漸近線互相垂直，∴a=b=

2

，
∴雙曲線C的方程為  x²-y²=2．
（II）設直線l   y=k（x-1），A（ x₁，y₁），B （ x₂，y₂），
由

y = k(x -1) x2-y2 = 2

 得（1-k²）y²+2ky-k²=0，∴△=4k²-4（1-k²）（-k²）＞0，
再由傾斜角為銳角知，0＜k＜

2

且 k≠1．
 y₁+y₂=

2k

k2-1

，y₁•y₂=

k2

k2-1

，
∵

EA

=t

EB

，∴（ x₁-1，y₁）=t（x₂-1，y₂），∴y₁=ty₂．
∴（1+t）y₂=

2k

k2-1

，t y₂²=

k2

k2-1

，消去y₂得 

4

k2-1

=t+

1

t

+2．
∵1＜t＜3，∴4＜

4

k2-1

＜

16

3

，∴

7

4

＜k²＜2． 又0＜k＜

2

  且 k≠1，
∴

7

2

＜k＜

2

，
故直線l斜率的取值范圍為（

7

2

，

2

）．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，由t的范圍求出

4

k2-1

的范圍，進而得到k的范圍，‘是解題的關鍵和難點．