Question

20．函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}}$的值域?yàn)閇$\frac{3}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系求出最值即可得到函數(shù)的值域．

解答 解：y=$\frac{{x}^{2}-x+1}{{x}^{2}}$=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）
∴y′=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$=$\frac{x-2}{{x}^{3}}$，
當(dāng)y′＞0時(shí)，解得x＜0或x＞2，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)y′＜0時(shí)，解得0＜x＜2，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為y=1+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，無(wú)最大值，
故值域?yàn)閇$\frac{3}{4}$，+∞），
故答案為：[$\frac{3}{4}$，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的值域的求法，采用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可求出，屬于中檔題．