Question

6．已知對(duì)任意平面向量$\overrightarrow{AB}$=（x，y），把$\overrightarrow{AB}$繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)θ角得到向量$\overrightarrow{AP}$=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)P．
（1）已知平面內(nèi)點(diǎn)A（1，2），點(diǎn)B（1+$\sqrt{2}，2-2\sqrt{2}$）．把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{4}$后得到點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)平面曲線C上的每一點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)$\frac{π}{4}$后得到的點(diǎn)的軌跡是曲線x²-y²=3，求原來(lái)曲線C的方程．

Answer 1

分析 （1）利用題中的新定義，可先計(jì)算$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AP}$，結(jié)合已知A（1，2），利用向量的減法，可求P點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）設(shè)平面內(nèi)曲線C上的點(diǎn)P（x，y），根據(jù)把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)θ角得到點(diǎn)P的定義，可求出其繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)$\frac{π}{4}$后得到點(diǎn)P′（$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-y），$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+y）），另由點(diǎn)P′在曲線x²-y²=3，代入該方程即可求得原來(lái)曲線C的方程．

解答 解：（1）由已知可得$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$），
將點(diǎn)B（1+$\sqrt{2}，2-2\sqrt{2}$），繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{4}$，
得$\overrightarrow{AP}$=（$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$-2$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$，-$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$-2$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$）=（-1，-3）
∵A（1，2），∴P（0，-1 ）
（2）設(shè)平面內(nèi)曲線C上的點(diǎn)P（x，y），則其繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)$\frac{π}{4}$后得到點(diǎn)P′（$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-y），$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+y）），
∵點(diǎn)P′在曲線x²-y²=3，
∴[（$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-y）]²-[$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+y）]²=3，
整理得xy=-$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題以新定義為切入點(diǎn)，考查向量在幾何中的應(yīng)用以及圓錐曲線的軌跡問(wèn)題，同時(shí)考查學(xué)生的閱讀能力和分析解決問(wèn)題的能力以及計(jì)算能力．融合了向量的減法，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義．