Question

過(guò)直線y=x上的一點(diǎn)作圓x²+（y-4）²=2的兩條切線L₁、L₂，當(dāng)L₁與L₂關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)時(shí)，L₁與L₂的夾角為（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由過(guò)直線y=x上點(diǎn)A作圓B的兩條切線關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，得到BA與y=x垂直，且∠BAD=∠BAC，根據(jù)切線性質(zhì)得到∠BCA為直角，然后利用點(diǎn)直線的距離公式求出圓心B到直線y=x的距離即為|AB|，而|BC|為圓的半徑長(zhǎng)，根據(jù)一直角邊等于斜邊的一半，這條直角邊所對(duì)的角為30°，得到∠BAD=∠BAC=30°，進(jìn)而求出∠CAD的度數(shù)，進(jìn)而兩切線的夾角．
解答：解：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示：
由圓的方程得到圓心B（0，4），圓的半徑r=|BC|=|BD|=，
根據(jù)兩條切線關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，得到BA⊥直線y=x，
所以|BA|==2，
又直線AC和直線AD都為圓B的切線，切點(diǎn)分別為C和D，
所以BC⊥AC，BD⊥AD，即∠BCA=∠BDA=90°，
在Rt△ABC和Rt△ADB中，BC=BD=，AB=2，
所以∠BAD=∠BAC=30°，
則∠CAD=60°，即兩切線的夾角為60°．
故選C
點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)以及點(diǎn)到直線的距離公式．要求學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想，借助圖形，充分利用對(duì)稱(chēng)性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題．