已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）定理：若函數(shù)在區(qū)間D上是凹函數(shù)，且存在，則當(dāng) 時(shí)，總有．請(qǐng)根據(jù)上述定理，且已知函數(shù)是上的凹函數(shù)，判斷與的大�。�

（Ⅲ）求證：．

（Ⅰ）（）．                         

（Ⅱ）．                                               

（Ⅲ）由（Ⅱ），得．


解析:

（Ⅰ）時(shí)，或．

由于是正項(xiàng)數(shù)列，所以．

當(dāng)時(shí)，

，                               

整理，得．

由于是正項(xiàng)數(shù)列，∴．

∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．      

從而，當(dāng)時(shí)也滿足．

∴（）．                         

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．

對(duì)于上的凹函數(shù)，有．

根據(jù)定理，得．　　　　　　　　　　　

整理，得．

令，得．          

∴，即．

∴．                                              

（Ⅲ）由（Ⅱ），得．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，為方程的一根。

（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；

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已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且 .

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本小題滿分14分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．

（I） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，

求證：數(shù)列為等差數(shù)列．

 

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