Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知PA與圓O相切于點A，經(jīng)過點O的割線PBC交圓O于點B，C，∠APC的平分線分別交AB，AC于點D，E．
（Ⅰ）證明：∠ADE=∠AED；
（Ⅱ）若AC=AP，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)弦切角定理，得到∠BAP=∠C，結合PE平分∠APC，可得∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED；
（Ⅱ）根據(jù)AC=AP得到∠APC=∠C，結合（I）中的結論可得∠APC=∠C=∠BAP，再在△APC中根據(jù)直徑BC得到∠PAC=90°+∠BAP，利用三角形內(nèi)角和定理可得．利用直角三角形中正切的定義，得到，最后通過內(nèi)角相等證明出△APC∽△BPA，從而．
解答：解：（Ⅰ）∵PA是切線，AB是弦，
∴∠BAP=∠C．
又∵∠APD=∠CPE，
∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE．
∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AED．…（5分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，
∵∠APC=∠BPA，
∵AC=AP，
∴∠APC=∠C
∴∠APC=∠C=∠BAP．
由三角形內(nèi)角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．
∵BC是圓O的直徑，
∴∠BAC=90°．
∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°．
∴．
在Rt△ABC中，，即，
∴．
∵在△APC與△BPA中
∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，
∴△APC∽△BPA．
∴．
∴．   …（10分）
點評：本題綜合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函數(shù)的定義和相似三角形的性質(zhì)等知識點，屬于中檔題．找到題中角的等量關系，計算出Rt△ABC是含有30度的直角三角形，是解決本題的關鍵所在．