Question

農戶計劃將已有的一塊半徑為100米的土地（如圖所示）重新規(guī)劃，擬將面積相等的兩個△AOD與△BOC置為普通花草地，△COD置為特級花草地，O為半圓圓心，∠COB=θ，據市場調查，特級花草市場銷售價變化不大，普通花草市場銷售價變化較大，以往經驗顯示：特級花草地每平方米年利潤為a元，普通花草地每平方米年利潤為asinθ元．
（1）分別寫出△BOC、△AOD、△COD的面積關于θ的函數關系；
（2）寫出農戶年總利潤f（θ）關于θ的函數關系，當θ為何值時，年總利潤f（θ）最大．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據三角形的面積等于absinC，求出S_△BOC、S_△AOD 以及S_△COD的值．
（2）農戶年總利潤f（θ）等于特級花草地的利潤加上普通花草地的利潤，再利用三角恒等變換化簡f（θ）為50asin（2θ-）+50a，再利用正弦函數的性質求出f（θ）的最大值以及f（θ）最大時θ的值．
解答：解：（1）由題意可得 S_△BOC= sinθ=S_△AOD，其中 0＜θ＜．
S_△COD=sin（π-2θ）=sin2θ．
（2）農戶年總利潤f（θ）等于特級花草地的利潤加上普通花草地的利潤，而年利潤等于每平方米年利潤乘以面積，
故f（θ）=a•sin2θ+asinθ•（2• sinθ ）
=50asin2θ+100a•sin²θ=50asin2θ+100a =50asin2θ-50acos2θ+50a
=50a sin（2θ-）+50a．
故當2θ-=，即θ=時，總利潤f（θ）取得最大值．
點評：本題主要考查三角函數的模型的應用，正弦函數的值域以及正弦函數取得最大值的條件，屬于中檔題．