Question

在棱長為1的正方體AC₁中，則平面C₁BD與平面CB₁D₁所成角余弦值為

 

．

Answer 1

分析：由已知中正方體的棱長為1，我們設(shè)正方形CDD₁C₁的對角線C₁D、CD₁交點為M，正方形CBB₁C₁的對角線B₁C、C₁B交點為N，則平面BDC₁和平面B₁D₁C的交線為MN，∠C₁EC是平面C₁BD與平面CB₁D₁所成二面角的平面角，解三角形C₁EC，即可得到平面C₁BD與平面CB₁D₁所成角余弦值．

解答：解：設(shè)正方形CDD₁C₁的對角線C₁D、CD₁交點為M，正方形CBB₁C₁的對角線B₁C、C₁B交點為N，
則平面BDC₁和平面B₁D₁C的交線為MN，
∵正方體AC₁的棱長為1，則正方形對角線C₁D=

2

，C₁M=

2

2

，C₁N=

2

2

，
MN是三角形C₁DB的中位線，MN=

BD

2

=

2

2

，
三角形C₁MN是正三角形，
同理三角形CMN也是正三角形，
取MN中點E，連接CE和C₁E，則CE⊥MN，C₁E⊥MN，故∠C₁EC是平面C₁BD與平面CB₁D₁所成二面角的平面角，
C₁E=CE=

3

2

MN=

6

4

，
在三角形C₁EC中，CC₁=1，
根據(jù)余弦定理，CC₁²=C₁E²+CE²-2•CE•C₁Ecos∠C₁EC，
∴cos∠C₁EC=-

1

3

，
則平面C1BD與平面CB1D1所成角余弦值為-

1

3

．
故答案為：-

1

3

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，其中確定∠C₁EC是平面C₁BD與平面CB₁D₁所成二面角的平面角，進而將二面角問題，轉(zhuǎn)化為解三角形問題是解答本題的關(guān)鍵．