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設等差數列{an}的公差d≠0,數列{bn}為等比數列,若a1=b1=a,a3=b3,a7=b5
(1)求數列{bn}的公比q;
(2)將數列{an},{bn}中的公共項按由小到大的順序排列組成一個新的數列{cn},是否存在正整數λ,μ,ω(其中λ<μ<ω)使得λ,μ,ω和cλ+λ,cμ+μ,cω+ω均成等差數列?若存在,求出λ,μ,ω的值,若不存在,請說明理由.
(1)設{bn}的公比為q,由題意
aq2=a+2d
aq4=a+6d
,即
aq2-a=2d
aq4-a=6d
---------------------------------------------(2分)
q=1不合題意,故
q2-1
q4-1
=
1
3
,解得q2=2,
∴q=±
2
----------------(4分)
(2)若{an}與{bn}有公共項,不妨設an=bm
由(2)知:m為奇數,且n=2
m+1
2
-1
,
令m=2k-1(k∈N*),則bm=a•(
2
)
2k-1-1
=a•2k-1,
∴cn=2n-1a---------------------------------------------------------------(12分)
若存在正整數λ,μ,ω(其中λ<μ<ω)滿足題意,
設p=λ,q=μ,r=ω則
2q=p+r
2(a•2q-1+q)=(a•2p-1+p)+(a•2r-1+r)
,
∴2q=2p-1+2r-1,又2p-1+2r-1≥2
2p+r-2
=2
p+r
2
(當且僅當p=r時取“=”)
又p≠r,
∴又2p-1+2r-12
p+r
2
----------------------(14分)
又y=2x在R上增,
∴q>
p+r
2
.與題設q=
p+r
2
矛盾,
∴不存在λ,μ,ω滿足題意.------------------------------------------(16分)
練習冊系列答案
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