Question

（2009•聊城二模）已知函數f（x）=lnx+

1-x

ax

，其中a為大于零的常數．
（1）若函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）內單調遞增，求a的取值范圍；
（2）求函數f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求導數f′（x），由函數f（x）在區(qū)間[1+∞）內單調遞增，得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分離參數后轉化為求函數最值即可；
（2）令f′（x）=0，得x=

1

a

，根據x=

1

a

在區(qū)間[1，2]外、區(qū)間內分情況討論，按照單調性即可求得其最小值；

解答：解：f′（x）=

ax-1

ax2

（x＞0），
（1）由已知，得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立，
又∵當x∈[1，+∞）時，

1

x

≤1，
∴a≥1，即a的取值范圍為[1，+∞）；
（2）當a≥1時，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，這時f（x）在[1，2]上為增函數，
∴f（x）_min=f（1）=0；
當0＜a≤

1

2

，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，這時f（x）在[1，2]上為減函數，
∴f（x）_min=f（2）=ln2-

1

2a

；
當

1

2

＜a＜1時，令f′（x）=0，得x=

1

a

∈（1，2），
又∵對于x∈[1，

1

a

）有f′（x）＜0，對于x∈（

1

a

，2）有f′（x）＞0，
∴f（x）_min=f（

1

a

）=ln

1

a

+1-

1

a

，
綜上，f（x）在[1，2]上的最小值為
①當0＜a≤

1

2

時，f（x）_min=ln2-

1

2a

；
②當

1

2

＜a＜1時，f（x）_min=ln

1

a

+1-

1

a

；
③當a≥1時，f（x）_min=0．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、在閉區(qū)間上的最值及函數恒成立問題，考查分類討論思想，函數恒成立問題往往轉化為函數最值解決．