Question

已知z，ω∈C，ω=

z

2+i

，（1+3i）z為純虛數，且|ω|=10

2

，求ω．

Answer 1

分析：設ω=x+yi（x，y∈R），則由ω=

z

2+i

可得z=（x+yi）（2+i）．再由（1+3i）z為純虛數可得-x-7y=0且7x-y≠0．再由|ω|=10

2

可得x²+y²=200．解出x 和y的值，即可得到ω的值．

解答：解：設ω=x+yi（x，y∈R），則由ω=

z

2+i

可得z=（x+yi）（2+i）．  …（2分）
依題意得（x+yi）（2+i）（1+3i）=（-1+7i）（x+yi）=-x-7y+（7x-y）i為純虛數，
故有-x-7y=0且7x-y≠0．
再由|ω|=10

2

可得x²+y²=200．…（6分）
解得x=-14時y=2，或x=14時y=-2．
則ω=-14+2i或ω=14-2i．…（10分）

點評：本題主要考查復數的基本概念，兩個復數代數形式的混合運算，求復數的模，屬于基礎題．