Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=（n²+n） 2ⁿ，則數(shù)列{

an

n

}的前n項(xiàng)和T_n=（　�。�

A．（n-1）2ⁿ-2

B．（n+2）2ⁿ-1

C．（n+2）2ⁿ-2

D．（n+2）2ⁿ⁺¹-2

Answer 1

分析：由已知利用遞推公式s_n-s_n-1=a_n，a₁=s₁可求通項(xiàng)，然后代入

an

n

，利用錯(cuò)位相減即可求解數(shù)列的和

解答：解：∵S_n=（n²+n）﹒2ⁿ，
∴S_n-1=[（n-1）²+（n-1）]﹒2^n-1，（n≥2）
兩式相減可得，s_n-s_n-1=（n²+n）﹒2ⁿ-[（n-1）²+（n-1）]﹒2^n-1，
=2^n-1•（n²+3n）（n≥2）
n=1時(shí)，a₁=s₁=4適合上式
∴a_n=2^n-1•（n²+3n）
∴

an

n

=（n+3）•2^n-1
∴s_n=4•2⁰+5•2+…+（n+3）•2^n-1
2s_n=4•2+5•2¹+…+（n+2）•2^n-1+（n+3）•2ⁿ
兩式相減可得，-s_n=4+2+2²+…+2^n-1-（n+3）•2ⁿ
=4+

2(1-2n-1)

1-2

-（n+3）•2ⁿ
=4+2ⁿ-2-（n+3）•2ⁿ
=2-（n+2）•2ⁿ
∴S_n=（n+2）•2ⁿ-2
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的求和、利用數(shù)列的遞推公式轉(zhuǎn)化數(shù)列的和與項(xiàng)之間的關(guān)系，數(shù)列的錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用．